Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que

y 2 ≤ 2 x - x 2 ,     y ≥ 0    

Passo 1

Temos para esse caso uma relação de y e x:

y 2 ≤ 2 x - x 2

Essa relação parece meio nebulosa, mas se você reparar bem, dá pra ver que o lado direito da inequação se parece com a equação:

2 x - x 2 - 1

Que sabemos ser:

2 x - x 2 - 1 = - x 2 - 2 x + 1 = - x - 1 2

Ok! Mas se eu subtrair 1 do lado direito, eu tenho que somar um pra inequação se manter a mesma, então ficamos com:

y 2 ≤ 2 x - x 2 + 1 - 1 → y 2 ≤ - x - 1 2 + 1

Passando o termo - x - 1 2   para o lado esquerdo, temos:

y 2 + x - 1 2 ≤ 1

Então o conjunto de todos os (x, y) que obedecem a essa relação vão dar um desenho mais ou menos assim:

Gráfico que descreve todos os pontos (x, y) que obedece a y 2 + x - 1 2 ≤ 1

Ou seja, um gráfico de uma circunferência de centro (1,0).

Como sabemos, pela regra da reta vertical, não podemos trabalhar com equações onde para um dado y temos dois valores de x, ou seja, precisamos achar uma função y(x):

y 2 + x - 1 2 = 1 → y 2 = 1 - x - 1 2 → y = 1 - x - 1 2

Ok, agora que temos a equação que descreve a metade superior da circunferência podemos usar o método aprendido para descobrir o volume dessas área rotacionada no eixo y.

Como!?

Bem, sabemos que se pegarmos vários retângulos com largura infinitesimal (ou seja, dx) e a altura variando do meio da circunferência (que no nosso caso é o eixo x) até a metade superior da circunferência (ou seja, a altura vai ser a função 1 - x - 1 2 )   temos a área do retângulo dado, se rotacionarmos esse retângulo em relação ao eixo y, tendo o raio dessa rotação( que será a distância do eixo y e o centro do retângulo, que é x) conseguimos calcular o volume de cada cilindro:

2 π r × h × l = 2 π x × 1 - x - 1 2 × d x

Fazendo o somatório desses cilindros teremos o volume dessa rotação, que, como já vimos na teoria, pode ser calculado pela integral:

∫ 2 π x × 1 - x - 1 2 × d x

Lembrando que só estamos considerando a área dos retângulos que estão acima do eixo x, mas como a equação é simétrica ao eixo x podemos multiplicar por 2 e teremos o resultado da rotação de toda circunferência e não só a da parte superior:

2 ∫ 2 π x × 1 - x - 1 2 × d x

Dá pra ver no gráfico que os limites de integração vão ser a distância entre os raios da circunferência sobre o eixo x, que é quando y=0, ou seja:

0 2 + x - 1 2 = 1 → x - 1 = 1 → x - 1 = ± 1

Caímos numa inequação do tipo:

- 1 ≤ x - 1 ≤ 1 → 1 - 1 ≤ x ≤ 1 + 1 → 0 ≤ x ≤ 2

Ok! Agora temos a integral usada pro cálculo e seus limites de integração. Ficamos com:

2 ∫ 0 2 2 π x × 1 - x - 1 2 × d x

Vamos achar o resultado dessa integral:

Passo 2

2 ∫ 0 2 2 π x × 1 - x - 1 2 × d x

4 π ∫ 0 2 x × 1 - x - 1 2 × d x

Vemos que essa equação é muito difícil de ser feita por substituição, mas se fosse uma equação:

4 π ∫ u × 1 - u 2 × d u

Seria fácil de substituir por v = 1 - u 2 → d v = - 2 u d u → - d v 2 = u d u ,então faremos com que exista um x-1. Para subtrair 1 temos que somar 1, ficará assim:

4 π ∫ 0 2 x - 1 + 1 × 1 - x - 1 2 × d x

Separamos o que queremos substituir do 1 que sobrou:

4 π ∫ 0 2 ( x - 1 ) + 1 × 1 - x - 1 2 × d x

Fazendo a distributiva, temos:

4 π ∫ 0 2 x - 1 × 1 - x - 1 2 + 1 - x - 1 2 × d x

Separamos em duas integrais pela propriedade da soma:

4 π ∫ 0 2 x - 1 1 - x - 1 2 d x + 4 π ∫ 0 2 1 - x - 1 2 d x

Para ∫ x - 1 1 - x - 1 2 d x , usamos o que foi discutido acima, fazemos a substituição u = x - 1 e d u = d x então fica:

4 π ∫ - 1 1 u 1 - u 2 d u

E a segunda substituição feita:

4 π - 1 2 ∫ 0 0 v d v = 0

Pela propriedade que diz:

∫ a a f x d x = 0

Se os limites de integração (superior e inferior) forem iguais, essa integração vale.

Com isso ficamos só com ∫ 0 2 1 - x - 1 2 d x .

Para ∫ 0 2 1 - x - 1 2 d x , usaremos também u = x - 1 → d u = d x

∫ 0 2 1 - x - 1 2 d x = ∫ - 1 1 1 - u 2 d u =

Esse é um caso clássico de substituição trigonométrica. Funciona assim:

1 - u 2 se parece muito com Pitágoras, não é?

Não viu? vou mostrar, então:

Coloque um triângulo de lados a,b e c.

Concorda comigo que o valor de um dos catetos vai valer b = a 2 - c 2 ? E também que se colocarmos teta alí entre a hipotenusa e a base, teremos essas relações:

s e n θ = c a e     cos ⁡ θ = a 2 - c 2   a

Para o nosso caso teremos:

Lados a=1, c=u e b = 1 - u 2 → s e n θ = u e     cos ⁡ θ = 1 - u 2 , com isso, ficaremos com:

∫ 1 - sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ d θ =

∫ 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ = 1 2 ∫ ( cos ⁡ 2 θ ) d θ + 1 2 ∫ d θ = 1 2 sin ⁡ 2 θ 2 + θ =

Sabemos da relação que diz: sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ , por isso ficaremos com:

1 2 sin ⁡ 2 θ 2 + θ = 1 2 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + θ = 1 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + θ

Pra finalizar, se temos s e n θ = u → θ = sin - 1 ⁡ u e     cos ⁡ θ = 1 - u 2 podemos coloca-los de volta na equação:

1 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + θ = 1 2 u 1 - u 2 + sin - 1 ⁡ u

= 1 2 x - 1 1 - x - 1 2 + sin - 1 ⁡ x - 1 1 - 1 =

= 1 2 1 1 - 1 2 + sin - 1 ⁡ 1 - - 1 1 - - 1 2 + sin - 1 ⁡ - 1 =

= 1 2 0 + π 2 - 0 - π 2 = 1 2 π 2 + π 2 = π 2

Ou seja:

4 π ∫ 0 2 1 - x - 1 2 d x = 4 π π 2 = 2 π 2

Agora somando:

V = 0 + 2 π 2 = 2 π 2

Resposta

V = 2 π 2

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