Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo.

h) W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 + z^2 ≥ 4, x^2 + y^2 + (z - raiz(2))^2 ≤ 2, z ≤ raiz(3(x^2 + y^2))}

Passo 1

Vamos passar para coordenadas esféricas. Temos que:

x = r cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ y = r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ z = r cos ⁡ ϕ

Assim, a primeira condição nos dá:

x 2 + y 2 + z 2 ≥ 4 r cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ 2 + r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ 2 + r cos ⁡ ϕ 2 ≥ 4 r 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ ϕ ≥ 4 r 2 cos 2 ⁡ ϕ + sin 2 ⁡ ϕ ≥ 4 r ≥ 2

A segunda nos dá:

x 2 + y 2 + z 2 - 2 2 z + 2 ≤ 2 x 2 + y 2 + z 2 - 2 2 z ≤ 0 r 2 - 2 2   r cos ⁡ ϕ ≤ 0 r r - 2 2 cos ⁡ ϕ ≤ 0 r ≤ 2 2 cos ⁡ ϕ

Por fim, a terceira condição:

r cos ⁡ ϕ ≤ 3 r 2 sin 2 ⁡ ϕ r cos ⁡ ϕ ≤ 3 sin ⁡ ϕ r sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ≥ 3 3 tan ⁡ ϕ ≥ 3 3 ϕ ≥ π 6

Por fim, veja que

2 ≤ r ≤ 2   2 cos ⁡ ϕ ⟹ 2 ≤ 2 2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ≥ 2 2 ⟹ ϕ ≤ π 4

Finalmente, temos a nossa região em coordenadas esféricas:

2 ≤ r ≤ 2 2 cos ⁡ ϕ , π 6 ≤ ϕ ≤ π 4 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Portanto, nosso volume vai ficar

V = ∭ B * r 2 sin ⁡ ϕ   d r   d θ   d ϕ V = ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 ∫ 2 2 2 cos ⁡ ϕ r 2 sin ⁡ ϕ   d r   d ϕ   d θ V = 2 π   ∫ π 6 π 4 sin ⁡ ϕ r 3 3 2 2 2   cos ⁡ ϕ d ϕ V = 2 π 3 ∫ π 6 π 4 sin ⁡ ϕ   16 2 cos 3 ⁡ ϕ - 8 d ϕ V = 2 π 3 ∫ π 6 π 4 16 2 cos 3 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ - 8 sin ⁡ ϕ d ϕ V = 32 2 3 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ ϕ cos 3 ⁡ ϕ   d ϕ - 16 3 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ ϕ   d ϕ

Passo 3

Para a primeira integral, seja u = cos ⁡ ϕ . Assim,

d u = - sin ⁡ ϕ   d ϕ ϕ = π 6 ⟹ u = 3 2 ϕ = π 4 ⟹ u = 2 2

Logo,

∫ π 6 π 4 sin ⁡ ϕ cos 3 ⁡ ϕ d ϕ = ∫ 3 2 2 2 - u 3   d u = u 4 4 2 2 3 2 = 1 4 9 16 - 1 4 = 5 64

Passo 4

Para a segunda integral, temos

∫ π 6 π 4 sin ⁡ ϕ   d ϕ = - cos ⁡ ϕ π 6 π 4 = 3 2 - 2 2

Finalmente, o volume será dado por:

V = 5 2 6 π - 8 3 - 8 2 3 π V = 21 2 - 16 3 6 π

Resposta

O volume é V = 21 2 - 16 3 6 π .

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