Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.10 - Ex. 21
a) Calcule , onde é o sólido limitado pelo elipsoide . Utilize a transformação , , .
b) A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por um elipsoide com e . Use o item (a) para estimar o volume da Terra.
c) Se o sólido do item (a) tiver densidade constante k, encontre seu momento de inércia em relação ao eixo z.
Passo 1
Olhando para equação dada
Sabemos que ela representa um elipsoide, visto em nossas aulas de geometria analítica, na qual os tamanhos máximo em cada eixo são , , e respectivamente em .
Passo 2
- A mudança de coordenada sugerida que nos levam para o espaço vem para transformar nosso elipsoide em uma esfera, ficando com
- Seja = e
- O momento de inércia é dado por
Neste espaço devemos nos atentar para os limites de integração de cada coordenada.
Outro ponto que devemos lembrar que pela transformação, nossa integral se transforma da seguinte forma:
Onde é o jacobino.
Logo temos que
Passo 3
Passo 4
Visto que
Usando uma nova transformação em coordenadas esféricas, fazemos
Na qual o jacobino é dado por
Assim ficamos com
Resposta
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