Enunciado

a) Calcule ∭ E d V , onde E é o sólido limitado pelo elipsoide x 2 / a 2 + y 2 / b 2 +   z 2 / c 2 = 1 . Utilize a transformação x = a u , y = b v , z = c w .

b) A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por um elipsoide com a = b = 6378   k m e c = 6356 k m . Use o item (a) para estimar o volume da Terra.

c) Se o sólido do item (a) tiver densidade constante k, encontre seu momento de inércia em relação ao eixo z.

Passo 1

Olhando para equação dada

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Sabemos que ela representa um elipsoide, visto em nossas aulas de geometria analítica, na qual os tamanhos máximo em cada eixo são a , b , e c respectivamente em x , y ,   z .

Passo 2

  1. A mudança de coordenada sugerida que nos levam para o espaço u ,   v ,   w vem para transformar nosso elipsoide em uma esfera, ficando com
  2. u 2 + v 2 + w 2 = 1

    Neste espaço devemos nos atentar para os limites de integração de cada coordenada.

    S = { u , v , w ∈ R 3 | 0 ≤ u ≤ a , 0 ≤ v ≤ b , 0 ≤ w ≤ c }

    Outro ponto que devemos lembrar que pela transformação, nossa integral se transforma da seguinte forma:

    ∭ V d x d y d z = ∭ S J ⋅ d u d v d w

    Onde J é o jacobino.

    J = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u , v , w ) = d e t a 0 0 0 b 0 0 0 c = a b c

    Logo temos que

    V = ∭ a b c ⋅ d u d v d w = a b c   ∭ d V = 4 3 π a b c

    Passo 3

  3. Seja a = 6378   k m = b e c =   6356   k m
  4. V ≈ 3,44 π × 10 11   k m 3

    Passo 4

  5. O momento de inércia é dado por

I = ∫ r 2 d m = ∫ r 2 k   d V

Visto que

k = d m d V

Usando uma nova transformação em coordenadas esféricas, fazemos

u = r cos ⁡ θ s i n ⁡ ( ϕ )

v = r sin ⁡ θ s i n ⁡ ( ϕ )

w = r   c o s ⁡ ( ϕ )

Na qual o jacobino é dado por J = r 2 s i n ⁡ ( ϕ )

Assim ficamos com

I = 4 π k ∫ r 4 d r = 4 π k r 5 5 = 4 5   π M V

Resposta

V = 4 3 π a b c

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