Enunciado

2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 e 1 n n

Passo 1

Para testarmos se a série é convergente ou divergente, vamos utilizar o teste da série alternada, isto é, provar que a série de formato genérico abaixo satisfaz duas condições:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n

1. b n ≥ b n + 1 ;

2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se for satisfeito, então a série converge. Caso contrário, diverge. Então bora lá!

Passo 2

Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente:

f n = e 1 n n

f ' n = - e 1 n . n - 2 . n - e 1 n n ² = - e 1 n n - 1 + 1 n 2 < 0

De fato a sequência é decrescente, o sinal de negativo ali enfatiza muito essa conclusão, não é mesmo? Agora testando a segunda condição:

lim n → ∞ ⁡ e 1 n n

Algo dividido por algo gigantesco resulta em zero, certo? Sendo assim:

lim n → ∞ ⁡ e 1 n n = 0

Sendo assim, podemos concluir que a série em questão é convergente.

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 e 1 n n   é   c o n v e r g e n t e

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