8. Calcule

b)

∫ 2 4 + x 2   d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = ∫ 2 4 + x 2   d x

Deixa eu te lembrar uma integral:

∫ d u 1 + u 2 = arctg ⁡ u + k

Viu que ta parecido? Então vamos mexer um pouco pra ficar igualzinho!

Passo 2

Vamos ver o termo que queremos integrar.

E = 2 4 + x 2

Passando esse 3 pra baixo:

E = 1 2 + x 2 2

Lá no passo 1, vemos que o denominador é 1 + u 2 . Então vamos colocar o 2 em evidencia!

E = 1 2 1 + x 2 4

Então nossa integral fica da seguinte forma:

I = ∫ 1 2 1 + x 2 4 d x

Tirando 2 da integral:

I = 1 2 ∫ 1 1 + x 2 4 d x

Passo 3

Agora é só fazermos a seguinte troca:

u 2 = x 2 4 → u = x 2

Derivando,

d u = d x 2 → d x = 2 d u

Então a integral fica:

I = 1 2 2 ∫ 1 1 + u 2 d u

Usando o resultado do Passo 1:

I = arctg ⁡ u + k

Voltando para variável x e juntando as constantes:

u = x 2

Substituindo o u :

I = arctg ⁡ x 2 + k

Resposta

∫ 2 4 + x 2   d x = arctg ⁡ x 2 + k

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