Enunciado

Uma partícula P desloca-se sobre o eixo x com velocidade constante e igual a 1 . Outra partícula Q desloca-se sobre a parábola y = 1 - x 2 de modo que sua projeção sobre o eixo x descreve um movimento com velocidade constante e igual a 2 . No instante t = 0 , as partículas P e Q encontram-se, respectivamente, nas posições 0,0 e 0,1 . Determine o instante em que as partículas encontram-se mais próximas.

Passo 1

A primeira coisa que vamos definir é que a partícula P se encontrará mais próxima de Q quando P = a , 0 e Q = b , 1 - b 2 . Como velocidade é igual a derivada da posição no tempo:

v P = 1 → d a d t = 1

∫ d a = ∫ d t → a = t

v Q = 2 → d b d t = 2

∫ d b = 2 ∫ d t → b = 2 t

Portanto,

P = t , 0   e   Q = 2 t , 1 - 2 t 2

Passo 2

Vamos lembrar que a distância entre dois pontos quaisquer é:

P Q - = d P , Q = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

P Q - = t - 2 t 2 + 0 - 1 - 4 t 2 2

P Q - = t 2 + 4 t 2 - 1 2

P Q - = t 2 + 16 t 4 - 8 t 2 + 1 = 16 t 4 - 7 t 2 + 1

P Q - será mínimo quando d P Q - d t = 0 , logo:

d P Q - d t = 16 t 4 - 7 t 2 + 1 ' = 0

Aplicando a regra da cadeia:

d P Q - d t = d f d u ∙ d u d t = d u d u ∙ d 16 t 4 - 7 t 2 + 1 d t = 0

1 2 u ∙ 64 t 3 - 14 t + 0 = 0

1 2 16 t 4 - 7 t 2 + 1 ∙ 64 t 3 - 14 t = 0

64 t 3 - 14 t = 0

t 64 t 2 - 14 = 0

t 1 = 0 ,   t 2 = 14 8 , t 3 = - 14 8

Como t não pode ser zero nem negativo:

t = 14 8

Resposta

14 8

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Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = 1 2 3 x - 1 ,x ≤ 3
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = 2 - 1 3 x , x ≥ - 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = s e nx, 0 ≤ xπ 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = 1 x ,1x3
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = 1 x , x ≥ 1