8. Calcule

c)

∫ 1 2 + 5 x 2   d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = ∫ 1 2 + 5 x 2   d x

Deixa eu te lembrar uma integral:

∫ d u 1 + u 2 = arct g ⁡ u + C

Viu que ta parecido? Então vamos mexer um pouco pra ficar igualzinho!

Passo 2

O termo que queremos integrante é o seguinte:

E = 1 2 + 5 x 2

Lá no passo 1, vemos que o denominador é 1 + u 2 . Então vamos colocar o 2 em evidencia!

E = 1 2 1 + + 5 2 x 2

Então nossa integral fica da seguinte forma:

I = ∫ 1 2 1 + + 5 2 x 2 d x

Tirando o 2 da integral:

I = 1 2 ∫ 1 1 + + 5 2 x 2 d x

Passo 3

Agora é só fazermos a seguinte troca:

u 2 = 5 2 x 2 → u = x 5 2

Derivando,

d u = d x 5 2 → d x = d u 2 5

Então a integral fica assim ó:

I = 1 2 2 5 ∫ 1 1 + + u 2 d u

Usando o resultado do Passo 1:

I = 1 2 2 5 a r c t g u + k

Voltando para variável x :

u = x 5 2

Portanto,

I = 1 2 2 5 a r c t g x 5 2 + k

Racionalizando:

I = 10 10   a r c t g x 10 2 + k

Resposta

∫ 1 2 + 5 x 2   d x = 10 10   a r c t g x 10 2 + k

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