Calcule:

∫ 1 2 ln ⁡ x d x

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, d x e ln ⁡ x vamos usar a integração por partes da seguinte maneira:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, vamos usar:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x   e   v = x → d v = d x

Porque é mais fácil usar assim, já que v = x → d v = d x :

∫ 1 2 ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ 1 x x d x 2 1

O contrário disso é muito complicado, porque se estamos usando integração por partes nesse caso, é justamente porquê não sabemos a primitiva de ln ⁡ x

Passo 2

∫ 1 2 ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ 1 x x d x 2 1

Agora que temos o lado direito da igualdade, vamos resolver:

∫ 1 2 ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ 1 d x 2 1 = x ln ⁡ x - x 2 1

Passo 3

Ok! Temos, agora, apenas que usar o teorema fundamental do cálculo que diz:

Que se F x é uma primitiva de f x , então podemos dizer que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Então vamos usar que o nosso F x = x ln ⁡ x - x , e a = 1   e   b = 2 :

∫ 1 2 ln ⁡ x d x = 2 ln ⁡ 2 - 2 - 1 ln ⁡ 1 - 1

Lembrando que ln ⁡ 1 = 0

∫ 1 2 ln ⁡ x d x = 2 ln ⁡ 2 - 2 - 0 - 1

∫ 1 2 ln ⁡ x d x = 2 ln ⁡ 2 - 1

Resposta

∫ 1 2 ln ⁡ x d x = 2 ln ⁡ 2 - 1

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