8. Calcule

d)

∫ 3 5 + x 2   d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = ∫ 3 5 + x 2   d x

Deixa eu te lembrar uma integral:

∫ d u 1 + u 2 = arct g ⁡ u + C

Viu que ta parecido? Então vamos mexer um pouco pra ficar igualzinho!

Passo 2

Vamos ver o termo que queremos integrar.

E = 3 5 + x 2

Passando esse 3 pra baixo:

E = 1 5 3 + x 2 3

Lá no passo 1, vemos que o denominador é 1 + u 2 . Então vamos colocar o 5 / 3 em evidencia!

E = 1 5 3 1 + x 2 5

Então nossa integral fica da seguinte forma:

I = ∫ 1 5 3 1 + x 2 5 d x

Tirando 5 / 3 da integral:

I = 3 5 ∫ 1 1 + x 2 5 d x

Passo 3

Agora é só fazermos a seguinte troca:

u 2 = x 2 5 → u = x 5

Derivando,

d u = d x 5 → d x = 5 d u

Então a integral fica:

I = 3 5 5 ∫ 1 1 + u 2 d u

Usando o resultado do Passo 1:

I = 3 5 5 arct g ⁡ u + C

Voltando para variável x e juntando as constantes:

3 5 5 arct g ⁡ x 5 + k

Isto é,

I = 3 5 arct g ⁡ x 5 + k

Resposta

∫ 3 5 + x 2   d x = 3 5 arctan ⁡ x 5 + k

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