Calcule

f) lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ x

Passo 1

Perceba que quando tentamos substituir x = 0 + no limite, chegamos a uma indeterminação do tipo “ 0 ∙ - ∞ ” :

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ x → sen ⁡ 0 + ln ⁡ 0 + → 0 ∙ - ∞

Passo 2

Então, para resolver o limite, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, assim:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ' 1 sen ⁡ x ' = lim x → 0 + ⁡ 1 x - cos ⁡ x sen 2 ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - sen 2 ⁡ x x cos ⁡ x

Repare que substituindo x = 0 + , ainda há indeterminação:

lim x → 0 + ⁡ - sen 2 ⁡ x x cos ⁡ x → - 0 2 0 ∙ 1 → 0 0

Passo 3

Assim, para terminar de resolver o limite, vamos multiplicar numerador e denominador por x , o que não altera o seu valor:

lim x → 0 + ⁡ - sen 2 ⁡ x x cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - x sen 2 ⁡ x x 2 cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - x cos ⁡ x sen ⁡ x x 2

Veja que podemos fazer aparecer o limite fundamental, assim:

lim x → 0 + ⁡ - x cos ⁡ x sen ⁡ x x 2 = lim x → 0 + ⁡ - x cos ⁡ x lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2

Lembre-se do valor do limite fundamental, lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x = 1 , para obter:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - x cos ⁡ x = - 0 1 = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ x = 0

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