Enunciado

Calcule

f) underset(x -> 0^+)(lim) sen x ln x

Passo 1

Perceba que quando tentamos substituir x = 0^+ no limite, chegamos a uma indeterminação do tipo “ 0 * (- oo) ” :

underset(x -> 0^+)(lim) sen x ln x -> sen (0^+) ln (0^+) -> 0 * (- oo)

Passo 2

Então, para resolver o limite, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, assim:

underset(x -> 0^+)(lim) sen x ln x = underset(x -> 0^+)(lim) (ln x)/((1)/(sen x)) = underset(x -> 0^+)(lim) ((ln x)^')/(((1)/(sen x))^') = underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x))/(((- cos x)/(sen^2 x))) = underset(x -> 0^+)(lim) - (sen^2 x)/(x cos x)

Repare que substituindo x = 0^+ , ainda há indeterminação:

underset(x -> 0^+)(lim) - (sen^2 x)/(x cos x) -> - (0^2)/(0 * 1) -> (0)/(0)

Passo 3

Assim, para terminar de resolver o limite, vamos multiplicar numerador e denominador por x , o que não altera o seu valor:

underset(x -> 0^+)(lim) - (sen^2 x)/(x cos x) = underset(x -> 0^+)(lim) - (x sen^2 x)/(x^2 cos x) = underset(x -> 0^+)(lim) (- (x)/(cos x)) ((sen x)/(x))^2

Veja que podemos fazer aparecer o limite fundamental, assim:

underset(x -> 0^+)(lim) (- (x)/(cos x)) ((sen x)/(x))^2 = (underset(x -> 0^+)(lim) - (x)/(cos x)) (underset(x -> 0^+)(lim) (sen x)/(x))^2

Lembre-se do valor do limite fundamental, underset(x -> 0^+)(lim) (sen x)/(x) = 1 , para obter:

underset(x -> 0^+)(lim) sen x ln x = underset(x -> 0^+)(lim) - (x)/(cos x) = - (0)/(1) = 0

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) sen x ln x = 0

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