Enunciado

Seja f x = x 5 + b x 4 + c x 3 - 2 x + 1 .

a) Que condições b e c devem satisfazer para que 1 seja ponto de inflexão de f ? Justifique.

b) Existem b e c que tornam 1 ponto de inflexão horizontal? Em caso afirmativo, determine-os.

Passo 1

a) Primeiramente, vamos calcular algumas derivadas:

f x = x 5 + b x 4 + c x 3 - 2 x + 1

f ' x = 5 x 4 + 4 b x 3 + 3 c x 2 - 2

f ' ' x = 20 x 3 + 12 b x 2 + 6 c x

f ' ' ' x = 60 x 2 + 24 b x + 6 c

f 4 x = 120 x + 24 b

f 5 x = 120

Passo 2

Com a generalização feita no Exercício 6, vemos que qualquer uma das condições seguintes são suficientes para que 1 seja ponto de inflexão de f :

f ' ' 1 = 0 e f ' ' ' 1 ≠ 0

ou f ' ' 1 = f ' ' ' 1 = f 4 1 = 0 e f 5 1 ≠ 0

ou f ' ' 1 = f ' ' ' 1 = f 4 1 = f 5 1 = f 6 1 = 0 e f 7 1 ≠ 0

ou

Porém, como já calculamos f 5 x = 120 ≠ 0 para todo x , só será possível usar as duas primeiras condições, pois as demais nunca serão verdadeiras. Então, teremos:

f ' ' 1 = 0 e f ' ' ' 1 ≠ 0

ou f ' ' 1 = f ' ' ' 1 = f 4 1 = 0 e f 5 1 ≠ 0

Passo 3

Agora vamos aplicar x = 1 nas derivadas que calculamos no Passo 1:

f ' ' 1 = 20 ( 1 ) 3 + 12 b ( 1 ) 2 + 6 c 1 = 20 + 12 b + 6 c

f ' ' ' 1 = 60 + 24 b + 6 c

f 4 1 = 120 + 24 b

f 5 1 = 120

Então, a condição f ' ' 1 = 0 e f ' ' ' 1 ≠ 0 implicará:

20 + 12 b + 6 c = 0 e 60 + 24 b + 6 c ≠ 0

⇒       6 c = - 12 b - 20 e 60 + 24 b + - 12 b - 20 ≠ 0

⇒       c = - 2 b - 10 3 e b ≠ - 10 3

Passo 4

A outra condição possível, conforme já vimos, será:

f ' ' 1 = f ' ' ' 1 = f 4 1 = 0 e f 5 1 ≠ 0

⇒       20 + 12 b + 6 c = 0 e 60 + 24 b + 6 c = 0 e 120 + 24 b = 0 e 120 ≠ 0

⇒       6 c = - 12 b - 20 e 60 + 24 b + - 12 b - 20 = 0 e b = - 5

⇒       6 c = - 12 b - 20 e b = - 10 3 e b = - 5

Porém, b não pode ter dois valores diferentes ao mesmo tempo, contradição!

Logo, a única condição para b e c será a que obtivemos no passo 3:

c = - 2 b - 10 3 e b ≠ - 10 3

Passo 5

b) Para que 1 seja ponto de inflexão horizontal, além da condição já encontrada no item a), devemos ter f ' 1 = 0 :

f ' x = 5 x 4 + 4 b x 3 + 3 c x 2 - 2

f ' 1 = 5 + 4 b + 3 c - 2 = 0

3 + 4 b + 3 c = 0

Porém, já devemos ter c = - 2 b - 10 3 :

3 + 4 b + 3 - 2 b - 10 3 = 0

b = - 7 2

E então substituímos b na expressão de c :

c = - 2 - 7 2 - 10 3 = 7 - 10 3 = 11 3

Logo, existem b e c que tornam 1 ponto de inflexão horizontal, sendo eles:

b = - 7 2 e c = 11 3

Resposta

a) c = - 2 b - 10 3 e b ≠ - 10 3

b) b = - 7 2 e c = 11 3

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