Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 + ⁡ x s e n x

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

L = lim x → 0 + ⁡ x s e n x = 0 s e n 0 = 0 0

Bom, esse é um limite que a gente claramente não sabe calcular, mas sabemos que quando aparecer expressões com essa cara, o macete é usar o nosso amigo, o número de Neper, e .

Passo 2

Pega a idéia:

L = lim x → 0 + ⁡ x s e n x

A gente pode reescrever qualquer número assim:

n = a b → n = e ln ⁡ a b

E pela regra do expoente:

n = e b ln ⁡ a

Fazendo aqui no limite:

L = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x s e n x

L = lim x → 0 + ⁡ e s e n x ln ⁡ ( x )

Como a base é constante, o limite só depende do expoente!

L = e lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x

Passo 3

Beleza, então vamos calcular esse limite do expoente.

lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x

Se a gente substituir direto, vamos achar uma indeterminação, 0 × - ∞ . Então vamos botar o seno pra baixo de modo que a gente fique com - ∞   ∞ .

lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 s e n x

Pronto! Agora podemos aplicar a regra de L’Hospital!

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 s e n x = lim x → 0 + ⁡ 1 x - c o s x s e n 2 x = lim x → 0 + ⁡ - s e n 2 x x   c o s x

Passo 4

Agora vamos separar esse limite em duas partes:

lim x → 0 + ⁡ - s e n 2 x x   c o s x = - lim x → 0 + ⁡ s e n x c o s x × lim x → 0 + ⁡ s e n x x

O primeiro limite, substituindo, dá 0 1 , que é 0 , e o segundo é o limite fundamental, que dá 1 !

lim x → 0 + ⁡ - s e n 2 x x   c o s x = - 0 × 1 = 0

lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x = 0

Beleza, esse é o limite do expoente. Então o limite todo dá:

L = e lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x

L = e 0

L = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x s e n x = 1

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lim t → 0 + ⁡ e t t - 1 t
lim t → 0 + ⁡ t - ln ⁡ ( 1 + 2 t ) t 2
lim x → 4 ⁡ s e n 2 ( π x ) e x - 4 + 3 - x
lim x → ∞ ⁡ ( 1 + 2 x + 7 x 2 )
lim x → 0 ⁡ 5 - 5 cos ⁡ x e x - x - 1