Calcule

m) ∫ x ( a r c t g x ) ²     d x        

Passo 1

Temos que calcular a integral do item m

Passo 2

Para começar temos que fazer uma mudança de variavel

∫ x ( a r c t g x ) ²     d x  

u = a r c t g ( x )

d u = 1 1 + x 2 d x → 1 + x 2 d u = d x

t g u = x

E ficamos com

∫ u 2 t g u sec 2 ⁡ u

Passo 3

Agora vamos fazer uma integral por partes

∫ u 2 t g u sec 2 ⁡ u

Onde,

g = u 2

g ' = 2 u

f ' = t g u sec 2 ⁡ u

f = sec 2 ⁡ u 2

Onde

∫ g f ' = g f - ∫ g ' f

Ficamos com

∫ u 2 t g u sec 2 ⁡ u   d u = 1 2 u 2 sec 2 ⁡ u - ∫ u sec 2 ⁡ u d u

E fazemos a integral por partes de novo

g = u

g ' = 1

f ' = sec 2 ⁡ u

f = t g   u

Então fazendo apenas para

∫ u sec 2 ⁡ u d u = u t g u - ∫ t g   u   d u = u t g u - l n ⁡ ( sec ⁡ u )

Agota temos

∫ u 2 t g u sec 2 ⁡ u   d u = 1 2 u 2 sec 2 ⁡ u - u   t g   u + l n ⁡ ( sec ⁡ u )

Agora desfazendo a substituição

u = a r c t g ( x )

t g u = x

sec ⁡ u = 1 + x 2

∫ u 2 t g u sec 2 ⁡ u   d u = 1 2 a r c   t g ( x ) 2 ( 1 + x 2 ) 2 ⁡ - x a r c t g   x + l n ⁡ ( 1 + x 2 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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