Calcule

o) lim x → + ∞ ⁡ x - x 3 - x 3

Passo 1

Oi, galerinha! Esse limite tem a cara bem feia, né? E ainda por cima quando tentamos substituir x por infinito pra ter uma idéia, encontramos ∞ - ∞ , indeterminação das brabas!

Vamos resolver esse limite aplicando L’Hospital, mas para isso precisamos de uma indeterminação do tipo 0 0 ou ∞ ∞ .

Então vamos mexer um pouco nessa função!

Passo 2

Pra sair dessa, a idéia vai ser fazer tipo uma racionalização, lembrando dessa fatoração aqui:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Mas também podemos escrever assim,

a - b = a 3 - b 3 a 2 + a b + b 2

Agora vamos fazer, a = x e b = x 3 - x 3 . Assim, temos:

x - x 3 - x 3 = a - b = a 3 - b 3 a 2 + a b + b 2

Subsituindo a e b , ficamos com,

x - x 3 - x 3 = x 3 - x 3 - x 3 3 x 2 + x x 3 - x 3 + x 3 - x 3 2

Desenolvendo,

x - x 3 - x 3 = x 3 - x 3 - x x 2 + x x 3 - x 3 + x 3 - x 2 3

Por fim, chegamos em:

x - x 3 - x 3 = x x 2 + x x 3 - x 3 + x 3 - x 2 3

Agora vamos aplicar o limite!

Passo 3

Então, podemos reescrever o limite assim:

lim x → + ∞ ⁡ x - x 3 - x 3 = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + x x 3 - x 3 + x 3 - x 2 3

Note que temos uma indeterminação do tipo “ ∞ ∞ “.

Pra fugir disso, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador:

lim x → + ∞ ⁡ x - x 3 - x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 1 2 x + x 3 - x 3 + x x 3 - x - 2 3 3 x 2 - 1 3 + 2 x 3 - x - 1 3 3 x 2 - 1 3

Todas essas paradas dependentes de x vão tender ao infinito! Então nosso limite fica:

lim x → + ∞ ⁡ x - x 3 - x 3 → 1 ∞ + ∞ + ∞ + ∞ → 1 ∞ → 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x - x 3 - x 3 = 0

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