Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → π / 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ csc ⁡ θ

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:

lim x → π / 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ csc ⁡ θ

O problema nos pede pra a gente usar o método mais elementar possível e se não pudermos devemos usar a Regra de L'Hôspital. Então vamos começar tentando resolver o limite só com a substituição:

1 - sin ⁡ π 2 = 1 - 0 = 1

csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ π 2   = 0

Logo:

lim x → π 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ csc ⁡ θ = 1 0

Opa, só podemos usar a Regra de L'Hôspital quando temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ !

Passo 2

Vamos tentar manipular o nosso limite pra tirar o sin ⁡ θ do denominador:

lim x → π / 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ = 1 - sin ⁡ θ × sin ⁡ θ 1

lim x → π / 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ = sin ⁡ θ - sin ⁡ θ 2

Dessa forma temos:

lim x → π / 2 ⁡ sin ⁡ θ - sin ⁡ θ 2 = 0

Prontinho!

Resposta

lim x → π / 2 ⁡ sin ⁡ θ - sin ⁡ θ 2 = 0

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Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x x