Enunciado

Califórnio-252. O que custa $ 27   milhões por grama e pode ser usado para tratar o câncer cerebral, analisar o teor de enxofre do carvão e detectar explosivos em bagagens? A resposta é califórnio- 252 , um isótopo radioativo tão raro que apenas 8 g   dele já foram produzidos no mundo ocidental desde sua descoberta por Glenn Seaborg em 1950 . A meia-vida do isótopo é 2.645 anos, longa o suficiente para prestar serviços úteis, mas curta o bastante para ter uma alta radioatividade por unidade de massa. Um micrograma desse isótopo libera 170 milhões de nêutrons por minuto.

a. Qual é o valor de k na equação de decaimento para esse

isótopo?

b. Qual é a vida média do isótopo? (Veja o Exercício 37.)

c. Quanto tempo levaria para que 95 % dos núcleos radioativos

de uma amostra se desintegrassem?

Passo 1

Pelo modelo de decaimento radioativo, temos

A = A 0 e - k t

Por outro lado, sabemos que

k = ln ⁡ 2 m e i a - v i d a

k = ln ⁡ 2 2.645 ≈ 0,000262

Dessa maneira,

y = y 0 e - ( 0,000262 ) t

Passo 2

No exercício 37 , vimos que a vida médio de um isótopo corresponde a 1 k . Dessa maneira teremos que,

1 k = 1 0,000262 ≈ 3.816,79

Sendo assim, a vida média do isótopo corresponde a aproximadamente um pouco mais de 3.816 anos.

Passo 3

Desejamos determinar quantos tempo levará para que 95 % dos núcleos radioativos se desintegre. Ou seja, qual valor t , quando y = 0,05 A 0   . Dessa maneira,

0,05 y 0 = y 0 e - ( 0,000262 ) t

⇒ 0,05 y 0 = y 0 e - ( 0,000262 ) t

⇒ 0,05 = e - ( 0,000262 ) t

⇒ l n ⁡ ( 0,05 ) = l n ⁡ ( e - ( 0,000262 ) t )

⇒ - ( 0,000262 ) t = l n ⁡ ( 0,05 )

⇒ t = ln ⁡ 0,05 - ( 0,000262 ) ≈ 11.434 Portanto, levará aproximadamente 11.434 anos para que 95 % dos núcleos radioativos se desintegre.

Resposta

Item a. k ≈ 0,000262

Item b.

1 k ≈ 3.816,79

Item c.

t ≈ 11.434

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