Enunciado

O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja,

a substituição y = (x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta

última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de υ por y/x

fornece a solução da equação original. Em cada um dos problemas de 31 a 38:

(a) Mostre que a equação dada é homogênea.

(b) Resolva a equação diferencial.

(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação

à origem?

x 2 + 3 x y + y 2 d x - x 2 d y = 0

Passo 1

  1. e (b) Antes de determinar o comportamento da solução, precisamos encontrar qual é a solução final da EDO acima, é visto que ela é do tipo que pode separar para calcular a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem. Vamos fazera substituiçãode y   =   x v .

Assim, temos:

y   =   x v

d y d x   =   v   +   x d v d x

x 2 + 3 x ( x v ) + ( x v ) 2 d x - x 2 d y = 0

x 2 + 3 x ( x v ) + ( x v ) 2 d x = x 2 d y

x 2 + 3 x ( x v ) + ( x v ) 2 x 2   =   d y d x

1 + 3 v + v 2   =   v   +   x d v d x

1 + 2 v + v 2   =   x d v d x

d x x   =   d v 1 + 2 v + v 2

Passo 2

  1. e (b) Quando olhamos a equação, percebemos que agora ela é uma EDO do tipo separável.

Agora para termos uma equação dependendo de y e de v, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d x x =   ∫ d v 1 + 2 v + v 2  

l n   x = - 1 v   + 1   +   C

Só que no ínicio consideramos que y   =   x v   →   v   =   y x

Ou seja, temos que:

l n   x = - 1 y x   + 1   +   C

x / x + y + l n x =   C

Passo 3

C) As retas abaixo foram construídas quando C obteve tais valores:

azul – C =2

verde – C = 4

roxa – C = 6

Ou seja, todos esses valores de C passam pela origem e são simétricas em relação a origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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