Enunciado

O campo de velocidade de um fluido em movimento é dado por v → = ( 2 x , 2 y , - z ) . Calcular a circulação do fluido ao redor da curva fechada C , sendo C dada por r → t = cos ⁡ t   i ^ + s e n   t   j ^ + 2 k ^ , t ∈ 0,2 π .

Passo 1

Talvez esse seja um exercício relativamente fácil. Já temos a nossa parametrização e só precisamos aplicar na equação dada abaixo

∫ C v → r → t ⋅ d r → t

Passo 2

Da parametrização dada, temos que

d r → t = - s e n   t   i ^ + cos ⁡ t   j ^ + 0 k ^ d t

Assim fazendo

v → r → t ⋅ d r → t = 2 cos ⁡ t , 2   s e n   t , - 2 ⋅ - s e n   t , cos ⁡ t , 0

= - 2 cos ⁡ t s e n   t + 2   s e n   t cos ⁡ t = 0

O que nos poupa muita coisa, já que a integral de zero é zero

Resposta

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores. ∫ 1,1 5,3 ( x d x + y d y )
Calcular a integral ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A ( 1,1 , 0 ) a B 1,2 - 1 . f → = e x + e z 2 i ^ + e y + z j ^ + 2 x z e z 2 + y k
Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para f → e o valor ∫ ( 0,0 , 0 ) ( a , b , c ) f → ⋅ d r → , onde a , b , c ∈R f → x , y , z = y z
Calcular a integral ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A ( 1,1 , 0 ) a B 1,2 - 1 . f → = s e nx + 2 y i ^ + 2 x + cos ⁡ z j ^ + z - ys e n
Verificar se o campo de forças f → é conservativo. Em caso afirmativo, determinar uma função potencial para esse campo e calcular o trabalho que ele faz sobre uma partícula que se desloca de A ( 1 , -