Enunciado

Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.

∫ 1,1 5,3 ( x d x + y d y )

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Para verificar se a integral independe do caminho, é necessário que o campo potencial que gera o campo vetorial seja conservativo, ou seja, ∇ × f → = 0 e que exista o campo potencial F .

Assim iremos usar a integral a baixo para determinar seus valores.

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A

Passo 2

Vamos primeiro calcular o rotacional de nossa f → . E você deve estar se perguntando, que f → ?

Olhando para nossa integral, temos que nossa f → é

f → = ( x , y )

E o rotacional é

∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y = 0

O que nos sugere que pode ser um campo conservativo, e consequentemente independente do caminho.

Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como

∇ F = f →

Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial F .

A ideia é, quando aplicamos o gradiente , ∇ F , temos

∇ F = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y = f →

Assim fazemos

∂ F ∂ x = x → F = x 2 2 + C ( y )

Onde C y é uma constante que depende somente de y.

A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente y do nosso campo. Então vamos derivar

∂ x 2 2 + C ( y ) ∂ y = C ' y = f y = y

C ' y = y → C y = y 2 2 + C

Assim nossa função potencial é

F = x 2 2 + y 2 2 + C

Passo 3

Para calcular o trabalho, tomamos a integral, onde A ( 1,1 ) e B 5,3

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A = 5 2 2 + 3 2 2 - 1 2 + 1 2 = 34 2 - 1 = 16

Resposta

16

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Calcule ∫ c x + y d s onde C é o segmento de reta x = t,y = 1 - t ,z = 0 de 0,1 , 0a( 1,0 , 0 )
Associe a equação vetorial utilizando os gráficos dados que vão de (a) até (h) r t = ( 2 cos ⁡ t ) i + ( 2 sin ⁡ t ) j ,0 ≤ T ≤ 2 π
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