Enunciado

Calcular a integral ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A ( 1,1 , 0 ) a B 1,2 - 1 .

f → = e x + e z 2 i ^ + e y + z j ^ + 2 x z e z 2 + y k ^

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Vamos calcular nosso problema de uma maneira bastante simples. Sabendo o ponto inicial, A , e o ponto final, B , podemos tomar que

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A

Ficando apenas necessário determinarmos F

Passo 2

Vamos assumir inicialmente que o rotacional de f → seja nulo, condição necessária para que exista a F . Nossa suposição vem do enunciado já nos dá as ferramentas para calcular a integral. Mas caro aluno. Esse é um passo que é simples e eu tenho toda certeza que vocês conseguem. Acompanhe os Exercício 2(a,b,c,d,e) caso tenham dúvida.

Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como

∇ F = f →

Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial F .

A ideia é, quando aplicamos o gradiente , ∇ F , temos

∇ F = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z = f →

Assim fazemos

∂ F ∂ x = e x + e z 2 → F = e x + x e z 2 + C ( y , z )

Onde C y , z é uma constante que depende somente de y e z .

A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente y do nosso campo. Então vamos derivar

∂ e x + x e z 2 + C ( y , z ) ∂ y = C ' y , z = f y =   e y + z

O que nos leva a conclusão de que C y , z = e y + y z + C ( z ) , ou seja, nossa constante não depende de y .

Agora se derivarmos em relação a z , devemos encontrar o valor de f z

∂ e x + x e z 2 + e y + y z + C ( z ) ∂ z =   2 z x e z 2 + y + C ' z = 2 x z e z 2 + y  

E C ' z = 0 → C z = C

Assim nossa função potencial é

F =   e x + x e z 2 + e y + y z + C

Passo 3

Para calcular o trabalho, tomamos a integral, onde A ( 1,1 , 0 ) e B 1,2 , - 1

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A = e + e + e 2 - 2 - ( e + 1 + e + 0 )

= e 2 - 3

Resposta

e 2 - 3

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