Enunciado

Se F é o campo vetorial do Exemplo 5, mostre que ∫ C F ⋅ d r = 0 para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e nem a circunde.

F x , y = - y   i + x   j x 2 + y 2

Passo 1

Como C é um caminho fechado e fora da origem P e Q possuem derivadas parciais continuas vamos aplicar o Teorema de Green

∫ C F ⋅ d r = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A

Derivando Q = x   x 2 + y 2

∂ Q ∂ x = x 2 + y 2 - x ( 2 x )   x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2   x 2 + y 2 2

Derivando P = - y x 2 + y 2

∂ P ∂ y = - x 2 + y 2 + y ( 2 y ) x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2   x 2 + y 2 2

Como ∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y na integral temos

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A = ∬ D 0   d A = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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