Enunciado

Use os gráficos de x = f ( t ) e y = g ( t ) para esboçar a curva parametrizada x = f ( t ) e y = g ( t ) . Indique com setas a direção na qual a curva é traçada quanto t aumenta.

Passo 1

Faaalaeee, beleza??? Bom... o enunciado nos deu os seguintes gráficos:

Perceba que temos x t e y t , ou seja, temos uma função parametrizada por aí, né?

E queremos esboçar essa curva!!!

Para isso, primeiro temos que descobrir que funções são essas que são mostradas nos gráficos para depois igualarmos t para que temos uma função no formato y x ou x y .

Por fim, vamos imaginar alguns valores (em ordem crescente) de t e ver quando a função vai crescer.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos analisar essa primeira curva:

Temos que observar que x é uma parábola com a concavidade para baixo e descolado para cima em 1 unidade, então podemos dizer que ela se comporta assim:

x = 1 - t 2

Passo 3

Agora vamos para a segunda curva:

Vemos que y é uma função senoidal.

Podemos escrever y como seno ou cosseno, só tomando cuidado com a fase que adicionamos essas funções, afinal:

s e n θ = cos  ⁡ θ - π 2  

Vamos escrever nossa função do jeito mais fácil então

y = s e n   t

Passo 4

Isolando t na equação do passo 2, temos:

x = 1 - t 2 ∴

t 2 = 1 - x ∴

t = 1 - x

Se substituirmos t na equação do passo 3, obtemos:

y = s e n   1 - x

Passo 5

Plotando a nossa curva, obtemos:

Agora vamos analisar o que acontece quando t aumenta:

Se pegarmos um intervalo de t ∈ [ 0,1 ] nossa função fica

Se formos aumentando esse intervalo de t , por exemplo de [ 0,3 ] , vamos ver isso:

Então por isso podemos falar que a orientação dessa parábola é no sentido anti-horário

Esse exercício requer apenas que testemos nossos conhecimentos de gráficos, conforme você for testando com mais funções, mais vai pegando o jeito. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução 😉

Resposta

y = s e n   1 - x

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