Enunciado

Calcule o momento de inércia do fio homogêneo γ t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   t , 0 ≤ t ≤ π / 2 , em torno do eixo O x .

Passo 1

Será que vocês lembram como calcular o momento de inércia?

Eu vou ajudar vocês. Tome que o momento de inércia é definido como

I = ∫ γ r 2 d m

Onde

d m = δ x , y , z   d s

E agora devemos fazer algumas transformações para conseguimos resolvemos nosso problema.

Em nosso capítulo, Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco, função f X contínua, definida na imagem de γ , pode ser reescrita como

∫ γ f X d s = ∫ a b f γ t | γ ' t |   d t

E será assim que podemos resolver

Passo 2

Imagine que nosso fio está no espaço x y z . Por pitagora, a distância de qualquer ponto do fio em relação ao eixo x é dada por

r 2 = y 2 + z 2

Outra informação que o problema dos dá é que

δ x , y , z = k = M / L  

Com os valores que foram dados, temos que

r γ t 2 = s e n   t 2 + t 2

Além disso não podemos esquecer que

γ ' t = cos ⁡ t 2 + s e n   t 2 + 1 = 2

Passo 3

Agora que temos nossos fatores, podemos escrever nossa integral como

k 2 ∫ 0 π / 2 s e n 2 t + t 2 d t

A primeira integral pode ser resolvida fazendo uma transformação de

s e n 2 t = 1 2 1 - cos ⁡ 2 t

Assim temos

k 2 ∫ 0 π / 2 1 2 - cos ⁡ 2 t 2 + t 2 d t = k 2 t 2 - s e n   2 t 4 + t 3 3 0 π / 2

Que nos dá finalmente

= k 2 π 4 + π 3 24 = M 4 L 2 π 1 + π 2 6

Resposta

M 4 L 2 π 1 + π 2 6

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