Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.1 - Ex. 35
As linhas de escoamento (ou linhas de corrente) de um campo vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os vetores do campo vetorial são tangentes a suas linhas de escoamento.
(a) Use um esboço do campo vetorial para desenhar algumas linhas de escoamento. Desses seus esboços é possível descobrir qual é a equação das linhas de escoamento?
(b) Se as equações paramétricas de uma linha de escoamento são explique por que essas funções satisfazem as equações diferenciais e . Resolva então as equações de forma a obter uma equação da linha de escoamento que passe pelo ponto .
Passo 1
(a) Galera, bora fazer o esboço do campo vetorial e tentar desenhar algumas linhas de escoamento?
Bom, parece que as linhas de escoamento são similares ao gráficos de . Então talvez a equação das linhas de escoamento seja .
Passo 2
(b) O vetor velocidade de um ponto na linha de escoamento vai coincidir justamente com o vetor no ponto do campo vetorial. Como temos , então e . Agora vamos tentar resolver essas equações:
Passo 3
Agora olha a manobra que a gente pode fazer pra eliminar a variável :
Pra determinar essa constante, basta usar o fato de que a linha de escoamento passa por :
Então, chegamos à equação:
Resposta
(b)