Enunciado

As linhas de escoamento (ou linhas de corrente) de um campo vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os vetores do campo vetorial são tangentes a suas linhas de escoamento.

(a) Use um esboço do campo vetorial F x ,   y = x   i - y   j para desenhar algumas linhas de escoamento. Desses seus esboços é possível descobrir qual é a equação das linhas de escoamento?

(b) Se as equações paramétricas de uma linha de escoamento são x = x t   ,   y = y t   , explique por que essas funções satisfazem as equações diferenciais d x d t = x e d y d t = - y . Resolva então as equações de forma a obter uma equação da linha de escoamento que passe pelo ponto 1 ,   1 .

Passo 1

(a) Galera, bora fazer o esboço do campo vetorial e tentar desenhar algumas linhas de escoamento?

Bom, parece que as linhas de escoamento são similares ao gráficos de y = ± 1 x . Então talvez a equação das linhas de escoamento seja y = C x .

Passo 2

(b) O vetor velocidade de um ponto x ,   y na linha de escoamento vai coincidir justamente com o vetor no ponto x ,   y do campo vetorial. Como temos F x ,   y = x   i - y   j , então d x d t = x e d y d t = - y . Agora vamos tentar resolver essas equações:

d x d t = x ⇒ x = A e t

d y d t = - y ⇒ y = B e - t

Passo 3

Agora olha a manobra que a gente pode fazer pra eliminar a variável t :

x y = A e t   .   B e - t = A B = c o n s t a n t e

Pra determinar essa constante, basta usar o fato de que a linha de escoamento passa por 1,1 :

x y = c o n s t a n t e

1   .   1 = c o n s t a n t e

c o n s t a n t e = 1

Então, chegamos à equação:

x y = 1

y = 1 x   ,           x > 0

Resposta

(b) y = 1 x   ,           x > 0

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