Enunciado

O campo vetorial F é mostrado no plano x y   e é o mesmo em todos os planos horizontais (em outras palavras ,   F é independente de z e sua componente z é 0 ).

  1. O d i v   F será positivo, negativo ou nulo? Explique.
  2. Determine se o r o t   F = 0 . Se não, em que direção r o t   F aponta?

Passo 1

Vamos considerar

F = P   i + Q   j

Para o gráfico dado, podemos perceber que x = 0 para todos os vetores do plano, e também que sua coordenada não varia então

∂ P ∂ x = ∂ P ∂ y = 0

Olhando para a coordenada y , temos que a sua componente no vetor diminui quando y aumenta, então sua variação é negativa

∂ Q ∂ y < 0

E não muda com a mudança de x e z então

∂ Q ∂ x = 0

Passo 2

  1. O divergente em duas coordenadas é calculado por
  2. d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y = 0 + ∂ Q ∂ y

    Como já analizamos e concluímos que ∂ Q ∂ y < 0 o divergente é negativo.

    Passo 3

  3. o rotacional em duas variáveis se resume em

r o t   F = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Como analisamos, a única derivada que é diferente de 0 é ∂ Q ∂ y e como ela não aparece no cálculo r o t   F = 0 .

Resposta

  1. Negativo
  2. r o t   F = 0
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