Enunciado

Cardioide no primeiro quadrante: Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela cardioide r   =   1   +   s e n ( θ ) .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo um esboço do gráfico, temos:

Vejamos que:

0 ≤ θ ≤ π 2

E dado que:

0 ≤ r ≤ 1 + s e n θ

Logo:

A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 + s e n θ r   d r   d θ

Passo 2

∫ 0 π 2 1 2 r 2 0 1 + s e n θ d θ

1 2 ∫ 0 π 2 1 + s e n θ 2 d θ

1 2 ∫ 0 π 2 1 + s e n 2 θ + 2   s e n θ d θ

Lembrando que s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

E lelmbrando que cos 2 ⁡ x = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 . Teremos :

1 2 ∫ 0 π 2 3 2 + 2 s e n θ - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Passo 3

1 2 3 2 θ - 2 cos ⁡ θ - s e n 2 θ 4 0 π 2

3 π 8 + 1

Resposta

3 π 8 + 1

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