Enunciado

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ 0 l n 2 ∫ 0 ln ⁡ 2 2 - y 2 e x 2 + y 2 d x   d y    

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Neste caso temos as funções:

x = 0

x = ln ⁡ 2 2 - y 2

E se fizermos o esboço dessas funções, temos:

Dado que os limites de integração dados pela segunda integral são de [ 0 , ln ⁡ 2 ], temos que:

0 ≤ r ≤ ln ⁡ 2

0 ≤ θ ≤ π 2

Feito isto, vamos para a função dada. Temos que:

e x 2 + y 2

Sabendo que:

x 2 + y 2 = r 2 → r = x 2 + y 2

Logo:

e r

Passo 3

Assim:

∫ 0 l n 2 ∫ 0 ln ⁡ 2 2 - y 2 e x 2 + y 2 d x   d y =   ∫ 0 π 2 ∫ 0 l n 2 e r r   d r   d θ    

Façamos e r d r = d u e r = v

∫ u   d v

Das técnicas de integração temos que:

∫ u   d v = v u - ∫ v   d u

Logo:

∫ 0 ln ⁡ 2 e r r   d r = e r r 0 ln ⁡ 2 - ∫ 0 ln ⁡ 2 e r d r

e r r - e r 0 ln ⁡ 2

Sabemos que e ln ⁡ x é o próprio x:

2 ln ⁡ 2 - 2 + 1

2 ln ⁡ 2 - 1

Assim, voltando à nossa integral de antes:

∫ 0 π 2 2 ln ⁡ 2 - 1 d θ

2 ln ⁡ 2 - 1 θ 0 π 2

2 ln ⁡ 2 - 1 π 2

Resposta

∫ 0 l n 2 ∫ 0 ln ⁡ 2 2 - y 2 e x 2 + y 2 d x   d y =   ∫ 0 π 2 ∫ 0 l n 2 e r r   d r   d θ    

E o valor da integral é:

π 2 2 ln ⁡ 2 - 1

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