Enunciado

Em cerca de quanto

h x , y , z = cos ⁡ ( π x y ) + x z 2

irá variar se o ponto P(x, y, z) se mover de P0 (-1,-1,-1) a uma distância de ds = 0,1 unidade na direção da origem?

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Temos que a distância pode ser dada através do vetor gradiente direcional, através do gradiente da nossa função. Ele é dado por:

∇ f = δ f δ x i + δ f δ y j + δ f δ z j

Dessa forma, para a nossa função, temos:

∇ f = - π y sin ⁡ π x y + z 2 i - π x sin ⁡ π x y j + 2 x z k

Passo 2

Com a nossa função gradiente existente, podemos aplicar o ponto que a questão nos entrega:

∇ f - 1 , - 1 , - 1 = π sin ⁡ π + 1 i + ( π - s e n   π ) j + 2 k

= i + 2 k

Para a distancia do ponto P0, na direção de P1:

v = P 0 P 1 = i + j + k

Dessa forma,

u = v v = i + j + k 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 3 i + 1 3 j + 1 3 k

Calculando a variação após a distância:

3 3 = ∇ g ⋅ u = 3

d h = ∇ h ⋅ u ) d s = √ 3 ⋅ 0.1 = 0.1732

Resposta

d h = 0.1732

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