Calcular ∭ T d V , onde T é a região limitada por x^2 + y^2 - x = 0 e x^2 + y^2 + z^2 = 1

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

O nosso cilindro é delimitado superiormente e inferiormente pela equação da esfera, certo?

Então:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

z = ± 1 - ( x 2 + y 2 )

Transformando em coordenadas cilíndricas:

z = ± 1 - r 2

Belezaaa! Agora que já sabemos a variação da altura só precisamos achar a área, que é definida pelo plano xy.

Nós podemos expressar o raio também em coordenadas cilíndricas:

r = cos ⁡ θ

Então:

0 ≤ r ≤ cos ⁡ θ

Para que o raio seja positivo o nosso ângulo deverá estar no intervalo:

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭ T d V = ∬ R ∫ - 1 - r 2 1 - r 2 d z r d r d θ

Resolvendo:

∫ - 1 - r 2 1 - r 2 d z = z = 1 - r 2 - ( - 1 - r 2 )

= 2 1 - r 2

Sendo assim:

= ∬ R 2 r 1 - r 2 d r d θ

= r ∬ R r 1 - r 2 d r d θ

Aplicando na integral:

= 2 ∫ - π 2 π 2 [ ∫ 0 cos ⁡ θ r 1 - r 2 . d r ] d θ  

Resolvendo a integral:

∫ 0 cos ⁡ θ r 1 - r 2 . d r

Vamos chamar:

u = 1 - r 2

d u = 1 2 . - 2 r . 1 - r 2 - 1 2 d r = - r d r 1 - r 2 = - r d r u → r d r = - u d u

Substituindo:

∫ 0 cos ⁡ θ u . ( - u d u ) = - ∫ 0 cos ⁡ θ u 2 . d u = - u 3 3

Voltando ao u:

- u 3 3 = - 1 3 1 - r 2 3 2

Agora aplicamos o intervalo:

= - 1 3 [ 1 - cos 2 ⁡ θ 3 2 - 1 ]

Pela identidade:

= - 1 3 [ sen ⁡ θ 2 3 2 - 1 ]

= - 1 3 [ sen ⁡ θ 3 - 1 ]

= 1 3 [ 1 - sen ⁡ θ 3 ]

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= 2 ∫ - π 2 π 2 1 3 [ 1 - sen ⁡ θ 3 ] d θ  

= 2 3 ∫ - π 2 π 2 [ 1 - sen ⁡ θ 3 ] d θ

Podemos reorganizar esta integral para facilitar:

= 4 3 ∫ 0 π 2 [ 1 - sen 3 ⁡ ( θ ) ] d θ

= 4 3 ∫ 0 π 2 d θ - ∫ 0 π 2 sen 3 ⁡ θ d θ

= 4 3 ∫ 0 π 2 d θ - ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ . s e n θ   d θ

= 4 3 θ - ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ . s e n θ   d θ

Pela identidade:

= 4 3 ∫ 0 π 2 d θ - ∫ 0 π 2 ( 1 - cos 2 ⁡ θ ) . s e n θ   d θ

Chamando:

u = cos ⁡ θ

d u = - s e n   θ . d θ

= 4 3 θ + ∫ 0 π 2 ( 1 - u 2 )   d u

= 4 3 θ + ∫ 0 π 2 d u   - ∫ 0 π 2 u 2   d u

= 4 3 θ + u - u 3 3

Substituímos o u:

= 4 3 θ + cos ⁡ θ - cos 3 ⁡ θ 3

E aplicando o intervalo:

= 4 3 π 2 + 0 - 1 - ( 0 - 1 ) 3

= 4 3 π 2 - 1 + 1 3 = 4 3 × 3 π - 4 6

= 2 9 ( 3 π - 4 )

Ufaaa !!

Acabamos mais uma !

Resposta

2 9 ( 3 π - 4 )

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