Enunciado

Um circuito em série contém um indutor, um resistor e um capacitor para os quais L = 1 2 h e n r y , R = 10   o h m s e C = 0,01   f a r a d , respectivamente. A voltagem

E t = 10 ,   0 ≤ t < 5 0 ,   t ≥ 5

É aplicada ao circuito. Determine a carga instantânea q ( t ) no capacitor para t > 0 se q 0 = 0 e q ' 0 = 0 .

Passo 1

Salveeee cara! Saca só, queremos resolver essa equação aqui:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Para L = 1 2 h e n r y , R = 10   o h m s e C = 0,01   f a r a d . Além disso, é aplicada uma tensão

E t = 10 ,   0 ≤ t < 5 0 ,   t ≥ 5

Que, utilizando o degrau unitário, podemos escrever assim:

E t = 10 - 10 u ( t - 5 )

Belezinha, pra resolvermos nossa equação diferencial, vamos usar a Transformada de Laplace, ok?

Então antes de começarmos, deixa só eu lembrar algumas transformadas aqui pra você:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L y ( n ) t = s n . Y s - s n - 1 . y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - y n ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora vamos!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

1 2 d 2 q d t 2 + 10 d q d t + 100 q = 10 - 10 u ( t - 5 )

Vai ficar assim:

1 2 s 2 . Q s - s . q 0 - q ' 0 + 10 s . Q s - q 0 + 100 Q s = 10 . 1 s - 10 . 1 s e - 5 s

Do enunciado, sabemos que q 0 = 0 e q ' 0 = 0

1 2 s 2 . Q s + 10 s . Q s + 100 Q s = 10 . 1 s - 10 . 1 s e - 5 s

Q s . s 2 2 + 10 s + 100 = 10 s - 10 s e - 5 s

Isolando Q ( s ) :

Q s = 10 s s 2 2 + 10 s + 100 - 10 s s 2 2 + 10 s + 100 e - 5 s

Q s = 10 s s 2 2 + 10 s + 100 1 - e - 5 s

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, fechou?

Passo 3

Temos

Q s = 10 s s 2 2 + 10 s + 100 1 - e - 5 s

Multiplicando em cima e embaixo por 2 :

Q s = 20 s s ² + 20 s + 200 1 - e - 5 s

Vamos expandir a fração em frações parciais:

20 s s ² + 20 s + 200 = A s + B s + C s 2 + 20 s + 200

A s 2 + 20 A s + 200 A + B s 2 + C s = 20

s 2 A + B + s 20 A + C + 200 A = 20

Igualando os termos em comum dos dois lados, temos

A + B = 0 20 A + C = 0 200 A = 20

Da terceira equação, temos

200 A = 20 → A = 20 200 = 1 10

Então

B = - 1 10

C = - 2

Portanto:

20 s s ² + 20 s + 200 = 1 10 s + - 1 10 s - 2 s 2 + 20 s + 200

E então:

Q s = 1 10 s + - 1 10 s - 2 s 2 + 20 s + 200 1 - e - 5 s

Passo 4

Temos

Q s = 1 10 s + - 1 10 s - 2 s 2 + 20 s + 200 1 - e - 5 s

Podemos escrever isso assim:

Q s = 1 10 s + - 1 10 s - 2 s + 10 2 + 10 ² 1 - e - 5 s

Multiplicando a segunda fração por 10 em cima e embaixo:

Q s = 1 10 s - 1 10 s + 20 s + 10 2 + 10 ² 1 - e - 5 s

Q s = 1 10 s - 1 10 s + 10 + 10 s + 10 2 + 10 ² 1 - e - 5 s

Separando as frações:

Q s = 1 10 s - 1 10 s + 1 0 s + 10 2 + 10 2 - 1 10 10 s + 10 2 + 10 ² 1 - e - 5 s

No primeiro termo, temos a transformada de uma constante

No segundo, temos a transformada do cosseno com translação de 10 amostras

No terceiro, temos a transformada do seno com translação de 10 amostras

Como todos os termos estão multiplicando 1 - e - 5 s , teremos suas transformadas inversas normais e depois suas transformadas inversas com a influência de u ( t - 5 )

Por fim:

q t = 1 10 - 1 10 e - 10 t cos ⁡ 10 t - 1 10 e - 10 t s e n 10 t - 1 10 - 1 10 e - 10 t - 5 cos ⁡ 10 t - 5 - 1 10 e - 10 t - 5 s e n 10 t - 5 u ( t - 5 )

E acabamossss

Resposta

q t = 1 10 - 1 10 e - 10 t cos ⁡ 10 t - 1 10 e - 10 t s e n 10 t - 1 10 - 1 10 e - 10 t - 5 cos ⁡ 10 t - 5 - 1 10 e - 10 t - 5 s e n 10 t - 5 u ( t - 5 )

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