Enunciado

Coloque num gráfico o ponto com coordenadas polares - 3 ,   - 2 3 π . Ache outro conjunto de coordenadas polares para esse ponto sendo (a) r > 0 e 0 ≤ θ < 2 π ; (b) r > 0 e - 2 π ≤ θ < 0 ; (c) r < 0   e   2 π ≤ θ < 4 π

Passo 1

Bom, primeiro colocaremos o ponto no gráfico:

Passo 2

E agora vamos identificar as condições dadas em cada letra, para que possamos manter o ponto, mesmo mudando suas coordenadas. Na letra (a) a coordenada precisa ter r > 0   e   0 ≤ θ < 2 π   então determinamos r = 3 e ajustamos o ângulo conforme as condições, de maneira a ficar no mesmo ponto. Como rotacionamos em - π r a d o r, vamos somar ao valor dado

- 2 3 π - π = - 5 3 π

E agora ajustamos à condição da letra (a), em ângulos, uma rotação de - 5 3 π seria o mesmo que fazermos θ = π 3 .

Logo, as coordenadas serão:

3 ,   π 3

Passo 3

Na letra (b) faremos a mesma coisa com r, vamos escrevê-lo como r = 3 por causa da condição r > 0 . Como rotacionamos novamente em - π r a d o r, nosso θ então ficará:

θ = - 2 3 π - π = - 5 3 π

E isso já satisfaz a condição - 2 π ≤ θ < 0 , então nossas coordenadas serão:

3 ,   - 5 3 π

Passo 4

E na letra (c) não mexeremos em r, mas precisaremos ajustar o ângulo de maneira a manter a posição de r no mesmo ponto, com isso precisamos somar 2 π para atingir a condição 2 π ≤ θ < 4 π

θ = - 2 3 π + 2 π = 4 3 π

E as coordenadas então serão:

- 3 ,   4 3 π  

Resposta

  1. 3 ,   π 3
  2. 3 ,   - 5 3 π
  3. - 3 ,   4 3 π  
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