Enunciado

Ache o valor exato da integral definida usando a relação entre soma de Riemann e integral definida.

∫ 0 2 x 2   d x

Passo 1

A relação entre integral definida e soma de Riemann pedida pelo problema é a seguinte:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ξ i Δ x

Chamaremos de “equação (1)” para invoca-la no futuro. 😉

Temos uma integral definida, ou seja, uma integral em que conhecemos os limites de integração a e b . Iremos então realizar nossos cálculos dentro desses limites, no intervalo [ 0 , 2 ] .

Considerando n subintervalos, então:

Δ x = b - a n = 2 - 0 n = 2 n

Passo 2

Se escolhermos ξ i como o extremo direito de cada subintervalo, teremos:

ξ i = a + i Δ x

Então:

ξ 1 = 0 + 2 n ,   ξ 2 = 0 + 2 2 n ,   ξ 3 = 0 + 3 2 n , … ,   ξ i = 0 + i 2 n , … , ξ n = 0 + n 2 n

Como f x = x 2 ,

f ξ i = 2 i n 2 = 4 i 2 n 2

Passo 3

Logo, usando a equação (1) e aplicando as propriedades de somatório, teremos:

∫ 0 2 x 2   d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 4 i 2 n 2 2 n

= lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3

Como n é uma constante, 8 n 3 pode sair do somatório multiplicando.

= lim n → + ∞ 8 n 3 ⁡ ∑ i = 1 n i 2

Lembrando que

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

Teremos:

= lim n → + ∞ 8 n 3 ⁡ n n + 1 2 n + 1 6

Expandindo a equação:

= lim n → + ∞ ⁡ 8 3 + 4 n + 4 3 n 2

Aplicando o limite:

= lim n → + ∞ ⁡ 8 3 + 0 + 0  

Resposta

Dessa maneira, o valor da integral definida é:

∫ 0 2 x 2   d x = 2,6667

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