Enunciado

Combinando os resultados dos problemas de 24 a 26, mostre que a solução do problema de valor inicial

L y = D 2 + b D + c y = g t ,     y t 0 = 0 ,     y ' t 0 = 0 ,

em que a ,   b   e   c são constantes, tem a forma

y = ϕ t = ∫ t 0 t K t - s g s d s .

A função K depende apenas das soluções y 1 e y 2 2 da equação homogênea associada e é independente do termo não homogêneo. Uma vez determinado K , todos os problemas não homogêneos envolvendo o mesmo operador diferencial L ficam reduzidos ao cálculo de uma integral. Note também que, embora K dependa de ambos t e s , só aparece a combinação t - s , de modo que K é, de fato, uma função de uma única variável. Pensando em g t como os dados de entrada (input) do problema e em ϕ t como os dados de saída (output), segue, da Eq. (i), que os dados de saída dependem dos dados de entrada em todo o intervalo, do ponto inicial t 0 ao valor atual t . A integral na Eq. (i) é a convolução de K e g , e referimo-nos a K como o núcleo.

Passo 1

Para resolvermos, vamos combinar os resultados dos exercícios anteriores nos atentando para as equações características de equação, de acordo com o que foi usado anteriormente.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos analisar como se é dado os resultados de acordo com a equação característica. Temos que cada exercício nos da uma raiz diferente da equação característica e assim conseguimos notar que para o caso onde as raízes são reais e distintas, nossa solução terá

K t - s = e b t - s - e a t - s b - a

Se as raízes são reais e idênticas, teremos

K t - s = t - s e a t - s

E se as raízes são complexas, vamos ter

K t - s = e λ t - s sin ⁡ μ t - s μ

Isso nos diz que a solução apenas dependerá das raízes da equação característica, assim independente da equação sua solução será do tipo

y = ∫ t 0 t K t - s g s d s

desde que tenha uma equação característica como solução.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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