Enunciado

Uma terceira dedução da equação do pêndulo depende do principio do momento angular: A taxa de variação do momento angular em torno de qualquer ponto é igual ao momento externo total em torno do mesmo ponto.

  1. Mostre que o momento angular M em torno do ponto de suporte é dado por M = m ⋅ L 2 ⋅ d θ / d t .
  2. Iguale d M / d t ao momento da força gravitacional e mostre que a equação resultante pode ser reduzida à Eq. (12). Note que os momentos positivos são no sentido trigonométrico (anti-horário).

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Depois vamos seguir as dicas de cada item para encontrar as informações pedidas. Vamos juntos para resolver!!

Passo 2

  1. Temos que o momento angular é dado por M = L → × p → = L ⋅ m ⋅ v ⋅ sin ⁡ θ . Onde p → é o momento linear, dado por p → = m ⋅ v → . O nosso sin ⁡ θ simboliza o valor do ângulo entre onde o objeto está e onde a força é aplicada. Como ambos estão no θ = 0 º , teremos que não haverá o valor do seno, ficando apenas com
  2. M = L ⋅ m ⋅ v

    Como já vimos anteriormente, nosso v = L ⋅ d θ d t . Substituindo então, ficamos com

    M = L 2 ⋅ m ⋅ d θ d t

    Passo 3

  3. Vamos usar a sugestão do nosso querido enunciado. Vamos derivar o momento e igualar ao momento da força gravitacional que será dado por

M g = - m ⋅ g ⋅ L ⋅ sin ⁡ θ

O sinal negativo se da pelo fato de estar apontando sempre na direção contrária. Se derivarmos M então, vamos ter

d M d t = L 2 ⋅ m ⋅ d 2 θ d t 2 = M g

L 2 ⋅ m ⋅ d 2 θ d t 2 = - m ⋅ g ⋅ L ⋅ sin ⁡ θ

d 2 θ d t 2 + g L ⋅ sin ⁡ θ = 0

Como queríamos chegar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Resolva a equação diferencial: x + 3 y 2 d y + y d x = 0 Dica: d x y = yd x + x d y
Resolva o problema de valor inicial: xd y + ( y - cos ⁡ x ) d x = 0 , y π 2 = 0
Resolva a equação diferencial: xd y + 3 y - x - 2 cos ⁡ x d x = 0 ,x0
Resolva o problema de valor inicial: x d y d x + 2 y = x 2 + 1,x0 , y 1 = 1
Resolva o problema de valor inicial: d y d x + 3 x 2 y = x 2 ,y 0 = - 1