Enunciado

24 . Mostre que, se y = ϕ(t) é uma solução de y′ + p(t)y = 0, então y = (t) também é solução para qualquer valor da constante c.

Passo 1

  1. Esses exercícios de “verifique que a função é solução” , existe dois métodos de provar que estamos certos. Um é realmente integrar e descobrir que ambos os lados são iguais. O outro – para mim o mais fácil – é aplicar a solução na diferencial e derivar. Derivar é sempre mais fácil que integrar

Vamos então agora derivar a função

y = φ t

y ' = φ ' t

y ' -   φ ' t = 0

O enunciado nos diz que

y′ + p(t)y = 0

Logo podemos concluir escrever que

- φ ' t =   p ( t ) y  

- φ ' t = p t φ t

Passo 2

Agora vamos provar que multiplicando por uma constante temos de novo nossa equação diferencial original.

y = φ t → y = C φ t

y ' = C φ ' t

y ' - C φ ' t = 0

Logo usando a relação do enunciado teríamos

y′ + p(t)y = 0

- c φ ' t = p t y

- C φ ' t =   p t C φ t    

- φ ' t = p t φ t

Ou seja conseguimos chegar na mesma relação entre φ ' e p t φ t isso prova que multiplicar por uma constante arbitraria não muda a expressão da nossa solução. Nem a equação diferencial resultante.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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