Enunciado

Combine a equação com seu gráfico na figura a seguir e determine as equações para as assíntotas verticais e horizontais.

(a) y = x 2 x 2 - x - 2

(b) y = x - 1 x 2 - x - 6

(c) y = 2 x 4 x 4 + 1

(d) y = 4 x + 2 2

Passo 1

Para cada uma das funções vamos ter que identificar algum ponto chave que nos indique a característica principal da função e, assim, conectar a um dos gráficos.

O mais fácil de se identificar nessas funções são as assíntotas e os zeros das funções. Vamos lá!

Passo 2

(a) ) y = x 2 x 2 - x - 2

Onde ocorrem as assíntotas verticais e horizontais?

Para a assíntota vertical, precisamos saber onde a função “explode”, isto é, para qual valor de x que a função tende ao infinito. E isso acontece quando temos uma divisão por 0 , geralmente. Pois quando dividimos um número por 0 , essa divisão tende ao infinito, ok?

Para ter uma divisão por 0 :

x 2 - x - 2 = 0

Fazendo Bháskara:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = - - 1 ± - 1 2 - 4 1 - 2 2 1

= 1 ± 1 + 8 2 = 1 ± 9 2

= 1 ± 3 2

Dessa forma:

x 1 = 1 + 3 2 = 2

x 2 = 1 - 3 2 = - 1

Então, temos assíntotas verticais em x = 2 e x = - 1 .

Para achar as assíntotas horizontais, devemos saber para qual valor a função tende, quando x tende ao infinito. Ou seja, na função:

y = x 2 x 2 - x - 2

Quando x tem um valor absurdamente grande, a função tende a algum valor específico? Vamos arrumar y dessa forma:

y = x 2 x 2 1 - 1 x - 2 x

y = 1 1 - 1 x - 2 x

Assim, se x for gigaaaante, como ele está no denominador de duas frações, essas duas frações vão tender a 0 . Isso porque é como se estivéssemos dividindo 1 por 999999999999 e 2 por 9999999999999999999 , entendeu a ideia? Essas duas divisões seriam praticamente 0 . Dessa forma, com um x enorme, temos isso:

y = 1 1 - 0 - 0 = 1

Então, x = 1 é uma assíntota horizontal.

Qual gráfico que bate com essas informações? O único é o II:

Passo 3

(b) y = x - 1 x 2 - x - 6

Mesma coisa: vamos achar as assíntotas.

Para achar a vertical, precisamos que:

x 2 - x - 6 = 0

Fazendo Bháskara:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = - - 1 ± - 1 2 - 4 1 - 6 2 1

= 1 ± 1 + 24 2 = 1 ± 25 2

= 1 ± 5 2

Dessa forma:

x 1 = 1 + 5 2 = 3

x 2 = 1 - 5 2 = - 2

Então, temos assíntotas verticais em x = 3 e x = - 2 .

Para achar as assíntotas horizontais, devemos saber para qual valor a função tende, quando x tende ao infinito. Ou seja, na função:

y = x - 1 x 2 - x - 6

Quando x tem um valor absurdamente grande, a função tende a algum valor específico? Vamos arrumar y dessa forma:

y = x 1 - 1 x x 2 1 - 1 x - 6 x

y = 1 - 1 x x 1 - 1 x - 6 x

Assim, se x for gigaaaante, como ele está no denominador de algumas frações, essas frações vão tender a 0 . Isso porque é como se estivéssemos dividindo 1 por 999999999999 e 6 por 9999999999999999999 , entendeu a ideia? Essas divisões seriam praticamente 0 . Mas, além disso, também temos um x sobrando ali no denominador, que vai fazer a função inteira ir para 0 . Dessa forma, com um x enorme, temos isso:

y = 1 - 0 x m u i t o   g r a n d e ( 1 - 0 - 0 ) = 1 x m u i t o   g r a n d e = 0

Então, x = 0 é uma assíntota horizontal.

Qual gráfico que bate com essas informações? O único é o I:

Passo 4

(c) y = 2 x 4 x 4 + 1

vamos achar as assíntotas.

Para achar a vertical, precisamos que:

x 4 + 1 = 0

x 4 = - 1

Como não existe número real em que, elevado à quarta potência, resulte num número negativo, não temos assíntotas verticais nessa função.

Para achar as assíntotas horizontais, devemos saber para qual valor a função tende, quando x tende ao infinito. Ou seja, na função:

y = 2 x 4 x 4 + 1

Quando x tem um valor absurdamente grande, a função tende a algum valor específico? Vamos arrumar y dessa forma:

y = 2 x 4 x 4 1 + 1 x 4

y = 2 1 + 1 x 4

Assim, se x for gigaaaante, como ele está no denominador da fração, essa fração vai tender a 0 . Isso porque é como se estivéssemos dividindo 1 por 999999999999 . Essa divisão seria praticamente 0 . Dessa forma, com um x enorme, temos isso:

y = 2 1 + 0 = 2

Então, x = 2 é uma assíntota horizontal.

Qual gráfico que bate com essas informações? O único é o IV:

Passo 5

(d) y = 4 x + 2 2

vamos achar as assíntotas.

Para achar a vertical, precisamos que:

x + 2 2 = 0

x 2 + 4 x + 4 = 0

Fazendo Bháskara:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 4 2 - 4 1 4 2 1

= 1 ± 16 - 16 2 = 1 ± 0 2

= 1 ± 0 2

Dessa forma:

x = 1 2

Então, temos assíntota vertical em x = 1 2 .

Para achar as assíntotas horizontais, devemos saber para qual valor a função tende, quando x tende ao infinito. Ou seja, na função:

y = 4 x + 2 2

Quando x tem um valor absurdamente grande, a função tende a algum valor específico?

Assim, se x for gigaaaante, como ele está no denominador, essa fração vai tender a 0 . Isso porque é como se estivéssemos dividindo 4 por 999999999999 . Essa divisão seria praticamente 0 . Dessa forma, com um x enorme, temos isso:

y = 4 x m u i t o   g r a n d e + 2 2 = 0

Então, x = 0 é uma assíntota horizontal.

Qual gráfico que bate com essas informações? O único é o III:

Resposta

(a) II

(b) I

(c) IV

(d) III

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