Encontre uma equação da forma y = y_0 + A \* sen(Bx - C) para cada gráfico.

Passo 1

Nesse exercício, vamos identificar o período e a amplitude de cada gráfico

Sabendo que o período é dado pelo tamanho de uma onda completa ( p e r í o d o = 2 π / B ) e a amplitude ( A ) é a metade da oscilação da função. Vamos ver isso melhor na prática!

Passo 2

(a) Vamos olhar para o gráfico de novo:

Podemos ver que a função tem seu valor mínimo em y = - 1 e máximo em y = 1 , logo, sua oscilação é ∆ y = 1 - ( - 1 ) = 2 . Com isso, já sabemos sua amplitude:

A = 2 2 = 1

Além disso, vemos que o tamanho dela é de 2 π , logo, esse é o valor do período:

2 π = 2 π B

B = 2 π 2 π

B = 1

Até agora temos:

y = y 0 + s e n x - C

E o valor de y 0 e C ? Vamos usar a informação de que a função passa por ( 0 , 1 ) , substituindo isso em y :

1 = y 0 + s e n 0 - C

1 = y 0 + s e n - C

E passa pelo ponto π 2 , 0 :

0 = y 0 + s e n π 2 - C

- s e n π 2 - C = y 0

Substituindo isso na primeira equação:

1 = - s e n π 2 - C + s e n - C

Sabendo que s e n a ± b = s e n a cos ⁡ b ± s e n b cos ⁡ a , temos que:

s e n π 2 - C =   s e n π 2 cos ⁡ C - s e n C cos ⁡ π 2

s e n π 2 - C = ( 1 ) cos ⁡ C - s e n C ( 0 )

s e n π 2 - C = cos ⁡ C

Sabendo também que s e n - C = - s e n ( C ) (a demonstração se dá fazendo s e n - C = s e n ( 0 - C ) ):

1 = - c o s C - s e n C

1 = - cos ⁡ C + s e n C

cos ⁡ C + s e n C = - 1

Vamos elevar os dois ao quadrado:

cos ⁡ C + s e n C 2 = - 1 2

cos 2 ⁡ C + 2 s e n C cos ⁡ C + s e n 2 C = 1

Sabemos que s e n 2 C + cos 2 ⁡ ( C ) = 1 :

2 s e n C cos ⁡ C + 1 = 1

2 s e n C cos ⁡ C = 0

E que 2 s e n C cos ⁡ C = s e n ( 2 C ) :

s e n 2 C = 0

Para isso:

2 C = 0

C = 0

Substituindo em - s e n π 2 - C = y 0 :

y 0 = - s e n π 2 - 0

y 0 = - s e n π 2

y 0 = - 1

Nossa função, então, é:

y = - 1 + s e n x

Passo 3

(b) Vamos olhar para o gráfico de novo:

Podemos ver que a função tem seu valor mínimo em y = 0 e máximo em y = 6 , logo, sua oscilação é ∆ y = 6 - 0 = 6 . Com isso, já sabemos sua amplitude:

A = 6 2 = 3

Além disso, vemos que o tamanho dela é de 9 π , logo, esse é o valor do período:

9 π = 2 π B

B = 2 π 9 π

B = 2 9

Até agora temos:

y = y 0 + s e n 2 9 x - C

E o valor de y 0 e C ? Olha, não conseguimos pegar dois pontos com certeza nesse gráfico... Teríamos apenas 9 π , 3 e ( 0,3 ) . Só que, fazendo o sistema com esses pontos, encontramos 0 = 0 , isso acontece porque s e n 9 π = s e n ( 0 ) , então é como se pegássemos o mesmo ponto duas vezes. Com isso, não conseguimos fazer um sistema para encontrar C e y 0 .

Mas relaxa, podemos colocar C = 0 e encontrar uma função que descreva essa curva ainda! Assim, vamos usar esse valor para C e o ponto ( 0,3 ) :

3 = y 0 + s e n 2 9 ( 0 ) - 0

3 = y 0 + s e n 0

y 0 = 3

Nossa função, então, é:

y = 3 + 3 s e n 2 9 x

Passo 4

(c) Vamos olhar para o gráfico de novo:

Podemos ver que a função tem seu valor mínimo em y = - 1 e máximo em y = 3 , logo, sua oscilação é ∆ y = 3 - - 1 = 4 . Com isso, já sabemos sua amplitude:

A = 4 2 = 2

Além disso, vemos que o tamanho dela é de π , logo, esse é o valor do período:

π = 2 π B

B = 2 π π

B = 2

Até agora temos:

y = y 0 + 2 s e n 2 x - C

E o valor de y 0 e C ? Vamos usar a informação de que a função passa por ( 0 , - 1 ) , substituindo isso em y :

- 1 = y 0 + s e n 2 ( 0 ) - C

- 1 = y 0 + s e n - C

E passa pelo ponto π 2 , 3 :

3 = y 0 + s e n π 2 - C

3 - s e n π 2 - C = y 0

Substituindo isso na primeira equação:

- 1 = 3 - s e n π 2 - C + s e n - C

- 4 = - s e n π 2 - C + s e n - C

Sabendo que s e n a ± b = s e n a cos ⁡ b ± s e n b cos ⁡ a , temos que:

s e n π 2 - C =   s e n π 2 cos ⁡ C - s e n C cos ⁡ π 2

s e n π 2 - C = ( 1 ) cos ⁡ C - s e n C ( 0 )

s e n π 2 - C = cos ⁡ C

Sabendo também que s e n - C = - s e n ( C ) :

- 4 = - c o s C - s e n C

- 4 = - cos ⁡ C + s e n C

cos ⁡ C + s e n C = 4

Vamos elevar os dois ao quadrado:

cos ⁡ C + s e n C 2 = 4 2

cos 2 ⁡ C + 2 s e n C cos ⁡ C + s e n 2 C = 16

Sabemos que s e n 2 C + cos 2 ⁡ ( C ) = 1 :

2 s e n C cos ⁡ C + 1 = 1 6

2 s e n C cos ⁡ C = 15

E que 2 s e n C cos ⁡ C = s e n ( 2 C ) :

s e n 2 C = 15

Para isso:

2 C = a r c s e n ( 15 )

C = a r c s e n 15 2

Substituindo em 3 - s e n π 2 - C = y 0 :

y 0 = 3 - s e n π 2 - a r c s e n 15 2

Já vimos que s e n π 2 - C = cos ⁡ C :

y 0 = 3 - cos ⁡ a r c s e n 15 2

Nossa função, então, é:

y = 3 - cos ⁡ a r c s e n 15 2 + 2 c o s 2 x + a r c s e n 15 2

Resposta

(a) y = - 1 + s e n x

(b) y = 3 + 3 s e n 2 9 x

(c) y = 3 - cos ⁡ a r c s e n 15 2 + 2 c o s 2 x + a r c s e n 15 2

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