Enunciado

Encontre uma equação da forma y = y_0 + A s e n (B x - C) para cada gráfico.

Passo 1

Nesse exercício, vamos identificar o período e a amplitude de cada gráfico

Sabendo que o período é dado pelo tamanho de uma onda completa ( p e r í o d o = 2 pi // B ) e a amplitude ( A ) é a metade da oscilação da função. Vamos ver isso melhor na prática!

Passo 2

(a) Vamos olhar para o gráfico de novo:

Podemos ver que a função tem seu valor mínimo em y = - 1 e máximo em y = 1 , logo, sua oscilação é Delta y = 1 - ( - 1 ) = 2 . Com isso, já sabemos sua amplitude:

A = (2)/(2) = 1

Além disso, vemos que o tamanho dela é de 2 pi , logo, esse é o valor do período:

2 pi = (2 pi)/(B)

B = (2 pi)/(2 pi)

:.

B = 1

Até agora temos:

y = y_0 + s e n (x - C)

E o valor de y_0 e C ? Vamos usar a informação de que a função passa por ( 0 , 1 ) , substituindo isso em y :

1 = y_0 + s e n (0 - C)

1 = y_0 + s e n (- C)

E passa pelo ponto ((pi)/(2) , 0) :

0 = y_0 + s e n ((pi)/(2) - C)

- s e n ((pi)/(2) - C) = y_0

Substituindo isso na primeira equação:

1 = - s e n ((pi)/(2) - C) + s e n (- C)

Sabendo que s e n (a +- b) = s e n (a) cos (b) +- s e n (b) cos (a) , temos que:

s e n ((pi)/(2) - C) = s e n ((pi)/(2)) cos (C) - s e n (C) cos ((pi)/(2))

s e n ((pi)/(2) - C) = ( 1 ) cos (C) - s e n (C) ( 0 )

s e n ((pi)/(2) - C) = cos (C)

Sabendo também que s e n (- C) = - s e n ( C ) (a demonstração se dá fazendo s e n (- C) = s e n ( 0 - C ) ):

1 = - c o s (C) - s e n (C)

1 = - (cos (C) + s e n (C))

cos (C) + s e n (C) = - 1

Vamos elevar os dois ao quadrado:

(cos (C) + s e n (C))^2 = (- 1)^2

cos^2 (C) + 2 s e n (C) cos (C) + s e n^2 (C) = 1

Sabemos que s e n^2 (C) + cos^2 ( C ) = 1 :

2 s e n (C) cos (C) + 1 = 1

2 s e n (C) cos (C) = 0

E que 2 s e n (C) cos (C) = s e n ( 2 C ) :

s e n (2 C) = 0

Para isso:

2 C = 0

C = 0

Substituindo em - s e n ((pi)/(2) - C) = y_0 :

y_0 = - s e n ((pi)/(2) - 0)

y_0 = - s e n ((pi)/(2))

y_0 = - 1

Nossa função, então, é:

y = - 1 + s e n (x)

Passo 3

(b) Vamos olhar para o gráfico de novo:

Podemos ver que a função tem seu valor mínimo em y = 0 e máximo em y = 6 , logo, sua oscilação é Delta y = 6 - 0 = 6 . Com isso, já sabemos sua amplitude:

A = (6)/(2) = 3

Além disso, vemos que o tamanho dela é de 9 pi , logo, esse é o valor do período:

9 pi = (2 pi)/(B)

B = (2 pi)/(9 pi)

:.

B = (2)/(9)

Até agora temos:

y = y_0 + s e n ((2)/(9) x - C)

E o valor de y_0 e C ? Olha, não conseguimos pegar dois pontos com certeza nesse gráfico... Teríamos apenas (9 pi , 3) e ( 0,3 ) . Só que, fazendo o sistema com esses pontos, encontramos 0 = 0 , isso acontece porque s e n (9 pi) = s e n ( 0 ) , então é como se pegássemos o mesmo ponto duas vezes. Com isso, não conseguimos fazer um sistema para encontrar C e y_0 .

Mas relaxa, podemos colocar C = 0 e encontrar uma função que descreva essa curva ainda! Assim, vamos usar esse valor para C e o ponto ( 0,3 ) :

3 = y_0 + s e n ((2)/(9) ( 0 ) - 0)

3 = y_0 + s e n (0)

y_0 = 3

Nossa função, então, é:

y = 3 + 3 s e n ((2)/(9) x)

Passo 4

(c) Vamos olhar para o gráfico de novo:

Podemos ver que a função tem seu valor mínimo em y = - 1 e máximo em y = 3 , logo, sua oscilação é Delta y = 3 - (- 1) = 4 . Com isso, já sabemos sua amplitude:

A = (4)/(2) = 2

Além disso, vemos que o tamanho dela é de pi , logo, esse é o valor do período:

pi = (2 pi)/(B)

B = (2 pi)/(pi)

:.

B = 2

Até agora temos:

y = y_0 + 2 s e n (2 x - C)

E o valor de y_0 e C ? Vamos usar a informação de que a função passa por ( 0 , - 1 ) , substituindo isso em y :

- 1 = y_0 + s e n (2 ( 0 ) - C)

- 1 = y_0 + s e n (- C)

E passa pelo ponto ((pi)/(2) , 3) :

3 = y_0 + s e n ((pi)/(2) - C)

3 - s e n ((pi)/(2) - C) = y_0

Substituindo isso na primeira equação:

- 1 = 3 - s e n ((pi)/(2) - C) + s e n (- C)

- 4 = - s e n ((pi)/(2) - C) + s e n (- C)

Sabendo que s e n (a +- b) = s e n (a) cos (b) +- s e n (b) cos (a) , temos que:

s e n ((pi)/(2) - C) = s e n ((pi)/(2)) cos (C) - s e n (C) cos ((pi)/(2))

s e n ((pi)/(2) - C) = ( 1 ) cos (C) - s e n (C) ( 0 )

s e n ((pi)/(2) - C) = cos (C)

Sabendo também que s e n (- C) = - s e n ( C ) :

- 4 = - c o s (C) - s e n (C)

- 4 = - (cos (C) + s e n (C))

cos (C) + s e n (C) = 4

Vamos elevar os dois ao quadrado:

(cos (C) + s e n (C))^2 = (4)^2

cos^2 (C) + 2 s e n (C) cos (C) + s e n^2 (C) = 16

Sabemos que s e n^2 (C) + cos^2 ( C ) = 1 :

2 s e n (C) cos (C) + 1 = 1 6

2 s e n (C) cos (C) = 15

E que 2 s e n (C) cos (C) = s e n ( 2 C ) :

s e n (2 C) = 15

Para isso:

2 C = a r c s e n ( 15 )

C = (a r c s e n (15))/(2)

Substituindo em 3 - s e n ((pi)/(2) - C) = y_0 :

y_0 = 3 - s e n ((pi)/(2) - (a r c s e n (15))/(2))

Já vimos que s e n ((pi)/(2) - C) = cos (C) :

y_0 = 3 - cos ((a r c s e n (15))/(2))

Nossa função, então, é:

y = 3 - cos ((a r c s e n (15))/(2)) + 2 c o s (2 x + (a r c s e n (15))/(2))

Resposta

(a) y = - 1 + s e n (x)

(b) y = 3 + 3 s e n ((2)/(9) x)

(c) y = 3 - cos ((a r c s e n (15))/(2)) + 2 c o s (2 x + (a r c s e n (15))/(2))

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