Enunciado

2- No começo desta seção discutimos a função I = f ( T , H ) , onde I era o índice de calor; T , a temperatura; e H , a umidade relativa. Utilize a Tabela 1 para estimar f T ( 92,60 ) e f H ( 92,60 ) . Quais são as interpretações práticas desses valores?

Passo 1

Tabela 1 da página 907:

Passo 2

Para resolver essa questão precisaremos utilizar a definição de integral para duas variáveis, chamando de f H a variação da umidade e de f T a variação da temperatura, nós teremos:

f H d = f x + h , y - f ( x , y ) Δ h

f H a = f x - h , y - f ( x , y ) Δ h

Onde f H d é a variação do ponto atual para o ponto depois da tabela, e f H a é a variação do ponto presente para o ponto anterior da tabela. Como a derivada é uma variação instantânea, precisamos fazer a média aritmética (já que a variação de H é a mesa) dessas duas variações para encontrar a variação instantânea f H

f H = f H d + f H a 2

E

f T d = f x , y + t - f ( x , y ) Δ t

f T a = f x , y - t - f ( x , y ) Δ t

O raciocínio é o mesmo só muda a variável que invés de ser a variação em x agora queremos a variação em y .

A variação instantânea f T vai ser calculado por:

f T = f T a + f T d 2

Onde a variação de T tanto para o ponto após ( 92,60 ) e antes de ( 92,60 ) tem o mesmo módulo igual a 2.

Onde do enunciado temos x = 92 e y = 60 .

Passo 3

Logo, substituindo os dados da tabela nós teremos:

f T d = f 92 + 2,60 - f ( 92,60 ) 2 = 111 - 105 2 = 3

f T a = f 92 - 2,60 - f ( 92,60 ) - 2 = 100 - 105 - 2 = 2.5

Logo a variação instantânea da temperatura será:

f T = 3 + 2.5 2 = 2.75

Agora para encontrar f H

f H d = f 92,60 + 5 - f ( 92,60 ) 5 = 108 - 105 5 = 0.6

f H a = f 92,60 - 5 - f ( 92,60 ) - 5 = 103 - 105 - 5 = 0.4

Logo a variação instantânea da umidade será igual a :

f H = f H d + f H a 2 = 0.5

De forma prática esses valores significam que no instante que o índice de calor está em 92 °   F a temperatura estará aumentando a uma taxa de 2.75 °   F e quando a umidade está em 60 % a umidade estará aumentado a uma taxa de 0.5 %

Resposta

f T = 2.75

f H = 0.5

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