Enunciado

Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.

34-

∑ n = 1 ∞ 1 + cos ⁡ n n 5

Passo 1

Vamos fazer a conta dos dez primeiros termos dessa série:

s 10 = 1 + cos ⁡ 1 1 5 + 1 + cos ⁡ 2 2 5 + … + 1 + cos ⁡ 10 10 5 = 1.559723537

A conta tem que estar em radiano ok? Em graus vai dar um valor bem errado.

Passo 2

A comparação que podemos fazer com essa série dada no enunciado é:

∑ n = 1 ∞ 2 n 5

Justamente pois cosseno varia de -1 até 1 e deveremos pegar o maior valor do cosseno, por que se for para calcular o erro temos que ter o valor do maior erro possível (desde que faça sentido com a série original).

Dessa forma vamos calcular a integral de todos os números que não foram considerados na somatória das série:

R 10 ≤ ∫ 10 ∞ 2 x 5

R a ≤ 2 - 4 x 4 10 ∞ = - 1 2 × ∞ 6 + 1 2 × 10 4 = 5 × 10 - 5

Resposta

R a ≤ 5 × 10 - 5

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Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da comparação para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
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Suponha que a n0 e lim n → ∞ ⁡ n ² a n = 0 ² . Prove que ∑ a n converge.