Enunciado

Uma companhia de alta tecnologia compra um novo sistema computacional cujo valor inicial é V . O sistema depreciará a uma taxa f = f ( t ) e acumulará custos de manutenção a uma taxa g = g ( t ) , onde t é o tempo medido em meses. A companhia quer determinar o tempo ótimo para substituir o sistema

  1. Seja
  2. C t = 1 t ∫ 0 s f s + g s d s

    Mostre que os números críticos de C ocorrem nos números t nos quais C t = f t + g ( t ) .

  3. Suponha que
  4. f t = V 15 - V 450 t ,     s e   0 < t ≤ 30 0 ,     s e   t > 30

    E

    g t = V t 2 12900 ,     t > 0

    Determine o período de tempo T para que a depreciação total D t = ∫ 0 t f s d s seja igual ao valor inicial V

  5. Determine o mínimo absoluto de C em 0 , T
  6. Esboce os gráficos de C e f + g no mesmo sistema de coordenadas e verifique o resultado da parte (a) nesse caso

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. a questão basicamente nos dá duas funções: f t que descreve a depreciação do sistema e g t é a função que descreve o acúmulo de custos de manutenção.

Onde t é medido em meses.

Com essas informações a questão nos pede para fazer um bocadinho de coisa.

Então vamos devagarinho, letra por letra, para resolver essas questão.. certinho?

Bora lá!! 😉

Passo 2

Na letra a) a questão quer que mostremos que os números críticos de C ocorrem nos números t nos quais C t = f t + g ( t ) .

Bom... Os números críticos são os valores de t tais que C ' t = 0 .

Para encontrá-los, basta derivarmos a função e igualarmos a zero.

Para derivarmos, precisamos usar a regra do produto e o teorema fundamental do cálculo, daí:

C ' t = 1 t f t + g t - 1 t 2 ∫ 0 s f s + g s d s

Igualando a zero

1 t f t + g t - 1 t 2 ∫ 0 s f s + g s d s = 0

f t + g t - 1 t ∫ 0 s f s + g s d s = 0

f t + g t - C t = 0

C t = f t + g ( t )

Passo 3

Na letra b) temos as seguintes funções:

f t = V 15 - V 450 t ,     s e   0 < t ≤ 30 0 ,     s e   t > 30

E

g t = V t 2 12900 ,     t > 0

Com isso, queremos o período de tempo T para que a depreciação total D t = ∫ 0 t f s d s seja igual ao valor inicial V .

Assim, para 0 < t ≤ 30 , temos que

∫ 0 t V 15 - V 450 s d s = V 15 s - V 900 s 2 0 t

∫ 0 t V 15 - V 450 s d s = V 15 t - V 900 t 2

Pelo enunciado, temos que

D t = V

Daí

V = V 15 t - V 900 t 2

1 15 t - 1 900 t 2 = 1

60 t - t 2 = 900

t 2 - 60 t + 900 = 0

t - 30 2 = 0

t - 30 = 0

t = 30   m e s e s

Passo 4

Agora que sabemos quais são as funções f e g , podemos calcular C ( t )

C t = 1 t ∫ 0 t V 15 - V 450 s + V 12900 s 2 d s

C t = 1 t ⋅ V 15 s - V 900 s 2 + V 38700 s 3 0 t

C t = 1 t V 15 t - V 900 t 2 + V 38700 t 3

C t = V 15 - V 900 t + V 38700 t 2

Para encontrar o valor mínimo absoluto, basta derivarmos e igualarmos a zero, daí

C ' t = - V 900 + V 19350 t

Igualando a zero

- V 900 + V 19350 t = 0

t 19350 = 1 900

t = 21,5

Sabemos que T = 30 , então, aplicando o método do intervalo fechado, precisamos calcular C 0 ,   C 21,5   e   C 30

C 0 ≈ 0,06667 V

C 21,5 ≈ 0,05472 V

C 30 ≈ 0,05659 V

Então, o valor de mínimo absoluto é C 21,5 ≈ 0,05472 V

Passo 5

Esboçando os gráficos

Temos que

C t = V 15 - V 900 t + V 38700 t 2

Temos também que

C t = f t + g ( t )

Então

V 15 - V 900 t + V 38700 t 2 = V 15 - V 450 t + V 12900 t 2

t 2 12900 - t 2 38700 = t 450 - t 900

t 2 1 12900 - 1 38700 = t 1 450 - 1 900

t = 1 900 2 38700

t = 43 2

t = 21,5

Que é o número crítico de C ( t ) .

Resposta

(b) t = 30   m e s e s

(c) O valor de mínimo absoluto é C 21,5 ≈ 0,05472 V

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