Enunciado

Calcule o limite, reconhecendo primeiro a soma como uma soma de Riemann para uma função definida em 0,1 .

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n + 2 n + 3 n + … + n n

Passo 1

Podemos escrever o limite como um somatório do tipo

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n + 2 n + 3 n + … + n n = lim n → ∞ ⁡ 1 - 0 n ∑ i = 1 n i n

Lembra que uma integral é uma soma infinitesimal? Então podemos escrever o somatório como uma integral

lim n → ∞ ⁡ 1 - 0 n ∑ i = 1 n i n = ∫ 0 1 x d x = x 1 2 + 1 1 2 + 1 0 1 = x 3 2 3 2 0 1 = 2 x 3 2 3 0 1 = 2 3 - 0 = 2 3

Resposta

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n + 2 n + 3 n + … + n n = 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Aproxime a integral usando (a) a aproximação M 10 pelo ponto médio, (b) a aproximação trapezoidal T 10 e (c) a aproximação pela regra de Simpson S 20 usando a Fórmula (7). Em cada caso, encontre o val
Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.Exercício 5 ∫ 1 3 e - 2 x d x
Aproxime a integral usando (a) a aproximação M 10 pelo ponto médio, (b) a aproximação trapezoidal T 10 e (c) a aproximação pela regra de Simpson S 20 usando a Fórmula (7). Em cada caso, encontre o val
Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar um número n de subintervalos para a aproximação (a) pelo ponto médio M n e (b) trapezoidal T n e (c) pela regra de Simpson S n que garanta que o e
Aproxime a integral usando (a) a aproximação M 10 pelo ponto médio, (b) a aproximação trapezoidal T 10 e (c) a aproximação pela regra de Simpson S 20 usando a Fórmula (7). Em cada caso, encontre o val