Enunciado

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Calcule o limite, reconhecendo primeiro a soma como uma soma de Riemann para uma função definida em 0,1 .

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n + 2 n + 3 n + … + n n

Passo 1

Podemos escrever o limite como um somatório do tipo

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n + 2 n + 3 n + … + n n = lim n → ∞ ⁡ 1 - 0 n ∑ i = 1 n i n

Lembra que uma integral é uma soma infinitesimal? Então podemos escrever o somatório como uma integral

lim n → ∞ ⁡ 1 - 0 n ∑ i = 1 n i n = ∫ 0 1 x d x = x 1 2 + 1 1 2 + 1 0 1 = x 3 2 3 2 0 1 = 2 x 3 2 3 0 1 = 2 3 - 0 = 2 3

Resposta

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n + 2 n + 3 n + … + n n = 2 3

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