Enunciado

Uma companhia de sopa deseja fabricar uma lata na for- ma de um cilindro circular reto que tenha capacidade para 500 cm3 de líquido. O material para a tampa e a base custa 0,02 centavos/cm2 , enquanto o material para a lateral custa 0,01 centavos/cm2

(a) Estime o raio r e a altura h da lata que custa menos para ser fabricada. [ Sugestão: Expresse o custo C em termos de r.]

(b) Suponha que a tampa e a base de raio r sejam tiradas de folhas quadradas, cujos lados têm comprimento 2r, e os retalhos são descartados. Levando em conta o custo das folhas quadradas, você esperaria que o custo da lata mais barata seja maior ou menor do que em (a)? Explique.

(c) Estime o raio, a altura e o custo da lata em (b) e determine se sua conjectura estava certa.

Passo 1

(a) Cara, o problema já nos deu a sugestão de ouro: vamos calcular o custo C do cilindro em função do raio r .

Os custos para a produção estão em centavos por centímetro quadrado e isso não é à toa, nós vamos calcular a área do cilindro para saber seu custo de produção e não seu volume!!

O volume vai servir para a gente saber mais sobre suas dimensões, vamos ver isso agora:

Para calcular a área do cilindro, precisamos da área da tampa e da base, que são iguais por se tratar de um cilindro, e da lateral. Logo, a área será:

A = π r 2 + π r 2 + 2 π r h

A = 2 π r 2 + 2 π r h

Bom, só usamos a área do cilindro até aqui.

Para saber o custo, vamos usar que, para a lateral ( 2 π r h   c m 2 ) cada c m 2 custa 0,01 centavo, então o custo da lateral será 2 π r h ∙ 0,01 centavos. Para a tampa e a base ( 2 π r 2   c m 2 ) cada c m 2 custa 0,02 centavo, então o custo da lateral será 2 π r 2 ∙ 0,0 2 centavos. Dessa forma, o custo total será:

C = 2 π r 2 ∙ 0,02 + 2 π r h ∙ 0,01

C = 0,04 π r 2 + 0,02 π h r

Mas, como queremos saber esse custo em função de r somente, precisamos encontrar uma relação entre h e r .

Passo 2

É aí que entra o volume! Queremos que o cilindro tenha 500   c m 3 de capacidade. Então, esse deve ser o nosso volume! E como calculamos o volume de um cilindro? Produto da área da base com a altura, certo? Assim:

V = A B h

E, como já vimos ali em cima até, a área da base do cilindro é a área de um círculo:

V = π r 2 h

Como nosso volume deve ser 500   c m 3 :

500 = π r 2 h

E, para achar a relação entre a altura e o raio, vamos isolar a altura nessa equação:

h = 500 π r 2

Substituindo isso na fórmula do custo do passo 1:

C = 0,04 π r 2 + 0,02 π h r

C = 0,04 π r 2 + 0,02 π 500 π r 2 r

Simplificando π r e multiplicando o 500 com o 0,02:

C = 0,04 π r 2 + 10 r

Passo 3

Para saber as dimensões do cilindro mais barato, vamos plotar o gráfico do custo e ver qual o valor de r que minimiza esse custo. Mas antes vamos lembrar que, como r é uma medida de comprimento, não teremos valores de r negativos!! O gráfico do custo fica, então:

Bom, com isso, a gente vê que o valor de r que minimiza o custo está entre r = 3 e r = 4 . Vamos pegar, então, r = 3,5   c m , ok? O custo será em torno de 4,4 centavos.

Se r = 3,5 , a altura será:

h = 500 π r 2

h = 500 π 3,5 2

h ≈ 13   c m

Então, essas são as dimensões do cilindro mais barato: r = 3,5   c m e h = 13   c m .

Passo 4

(b) Temos como resolver essa questão sem fazer uma conta. Só pensar o seguinte:

Se eu vou usar esses quadrados para pegar minha base e minha tampa, eles devem ter uma área maior do que minha base e minha tampa. Senão vai faltar material! Porque aí minha base seria maior que o quadrado, ou seja, o quadrado não seria suficiente para construir minha base.

Dessa forma, como a área do quadrado deve ser maior, o custo também será maior do que o esperado em (b).

Se você não acredita em mim, vou usar as contas para te mostrar que isso é verdade:

Temos um quadrado de lado 2 r , logo, sua área será A Q = 4 r 2 .

E, para esse quadrado, temos uma base de raio r , sua área é A B = π r 2

Por comparação, como π ≈ 3,14 , que é menor que 4 , A B < A Q . Mas você pode substituir o valor de r que encontramos no passo anterior e verificar isso também! Isso vai acontecer para a tampa também, pois a área da tampa é igual a da base e o quadrado também não muda.

E, se temos uma área maior, temos um custo maior, logo, levando em consideração os quadrados, o custo seria maior!

Passo 5

(c) O raio e a altura, já sabemos, serão os mesmos de (a). Para saber o custo, precisamos calcular a soma dos custos com a lateral e com a base e a tampa.

O custo da lateral será:

A L = 2 π r h

A L = 2 π ∙ 3,5 ∙ 13

A L = 91 π   c m 2

E, como cada c m 2 custa 0,01 centavo:

C L = 91 π ∙ 0,01

C L = 0,91 π   c e n t a v o s

O custo base e da tampa será o custo de duas folhas quadradas:

A B T = 4 r 2 + 4 r 2 = 8 r 2

A B T = 8 ∙ 3,5 2

A B T = 98   c m 2

E, como cada c m 2 custa 0,02 centavo:

C B T = 98 ∙ 0,0 2

C B T = 1,96   c e n t a v o s

Com isso, o custo total será:

C = C B T + C L

C = 1,96 + 0,91 π

C = 4,82   c e n t a v o s

Comparando com o valor do passo 3 ( 4,4 centavos), vemos que o custo realmente aumentou.

Resposta

(a) r = 3,5   c m e h = 13   c m

(b) Custo maior

(c) Aumenta mesmo

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