Enunciado

Complete os quadrados para identificar as seções cônicas nos Exercícios 69-76. Encontre seus focos, vértices, centros e assíntotas (conforme apropriado). Se a curva for uma parábola, encontre também sua diretriz.

x 2 - 2 x + 8 y = - 17

Passo 1

Olá galerinha, espero que estejam bem e ansiosos para resolver este exercício comigo! Vamos lá.

As seções cônicas resultam da intersecção de um cone plano, como mostrado na Figura:

Equações de forma padrão para elipses centradas na origem:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1                                       ( a > b )

  • Distância entre o centro e foco: c = a 2 - b 2
  • Focos: ± c ,   0
  • Vértices: ± a ,   0
  • Uma equação da parábola com foco 0 ,   p e diretriz y = - p é:

    x 2 = 4 p y

    Se considerarmos que a = 1 / ( 4 p ) , então a equação torna-se:

    y = a x 2

    • Se   p > 0 concavidade para baixo;
    • Se   p < 0 concavidade para cima.

    Equações de forma padrão para hipérbole centradas na origem:

    x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

  • Distância entre o centro e foco: c = a 2 - b 2
  • Focos: ± c ,   0
  • Vértices: ± a ,   0
  • Assíntotas: x 2 a 2 - y 2 b 2 = 0 ou y = ± b a x
  • As equações cônicas descritas anteriormente têm todas focos no eixo x e, centro ou vértice em 0 ,   0 . Quando temos um centro genérico em h ,   k e focos na reta y = k são:

  • Elipse:
  • x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 = 1                                       c o m   a 2 = b 2 + c 2

  • Parábola:
  • y - k 2 = 4 p x - h

  • Hipérbole:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1                                       c o m   b 2 = c 2 - a 2

Passo 2

Sabendo disso, vamos para o nosso exercício, onde temos a seguinte equação:

x 2 - 2 x + 8 y = - 17

Primeiramente iremos agrupar os termos em x e os termos em y :

x 2 - 2 x = - 8 y - 17

Completando o quadrado:

x 2 - 2 x + 1 = - 8 y - 17 + 1

x - 1 2 = - 8 y - 16

x - 1 2 = - 8 y + 2

Vemos que há apenas um quadrado, que se trata de uma parábola com:

4 p = - 8 → p = - 2

Passo 3

Para o vértice temos o seguinte:

V 1 ,   - 2

Para o foco:

F 1 ,   - 2 - 2

F 1 ,   - 4

E por fim, a diretriz:

y = 2 - 2

y = 0

Tchau pessoal.

Resposta

Parábola: V 1 ,   - 2 , F 1 ,   - 4 e a diretriz é y = 0 .

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