Enunciado

Encontre o volume do sólido gerado girando a região delimitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 36 em torno (a) do eixo x .

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo que vamos resolver este exercício juntos!

Primeiramente iremos relembrar algumas definições. A elipse é um conjunto de pontos de um plano cujas distâncias a partir de dois pontos fixos nesse plano têm uma soma constante. Os dois pontos fixos são os focos da elipse.

A reta que passa pelos focos de uma elipse é o eixo focal da elipse. O ponto no eixo na metade do trajeto entre os focos é o centro. Os pontos onde o eixo focal e a elipse se cruzam são os vértices da elipse, isso é explicado pela seguinte Figura:

A equação da forma padrão para elipses centradas na origem, com focos no eixo y :

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1           ( a > b )

Além disso, a equação do volume do sólido é dada por:

V = π ∫ a b f x 2 d x

Então vamos lá! Pelo enunciado, temos a seguinte equação:

9 x 2 + 4 y 2 = 36

Para deixarmos no formato padrão de uma elipse, iremos dividir ambos os lados por 36:

9 x 2 + 4 y 2 36 = 36 36

x 2 4 + y 2 9 = 1

Onde:

  • a 2 = 9 → a = 3
  • b 2 = 4 → b = 2

Encontrando a seguinte elipse:

Passo 2

Queremos encontrar o volume para quando a elipse gira em torno do eixo x , então iremos isolar y em função de x :

4 y 2 = 36 - 9 x 2

y = 36 - 9 x 2 4 = 3 2 4 - x 2

Ou seja:

f x = 3 2 4 - x 2

Aplicando na equação do volume e se gira em torno do eixo x , o intervalo de integração será - 2 a 2 :

V = π ∫ - 2 2 3 2 4 - x 2 2 d x

V = π ∫ - 2 2 9 4 ∙ ( 4 - x 2 ) d x

V = 9 π 4 ∫ - 2 2 ( 4 - x 2 ) d x

V = 9 π 4 ∙ 4 x - x 3 3 - 2 2

V = 9 π 4 ∙ 4 ∙ 2 - 2 3 3 - 4 ∙ ( - 2 ) - ( - 2 ) 3 3

V = 24 π

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

V = 24 π .

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