Enunciado

Um cone com altura h está inscrito em outro cone maior com altura H , de forma que seu vértice esteja no centro da base do cone maior. Mostre que o cone interno tem seu volume máximo quando h = 1 3 H .

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão nos dá um cone com altura h que está inscrito em outro cone maior com altura H , de forma que seu vértice esteja no centro da base do cone maior.

Para ficar mais simples, é como se a figura nos desse essa figura:

Com isso, a questão quer que provemos que que o cone interno tem seu volume máximo quando h = 1 3 H .

Para isso, temos que descobrir a função responsável pelo volume do cone e maximizá-la utilizando derivadas.

Assim, lembre-se que para descobrirmos pontos de máximo ou mínimo, basta derivarmos uma função e igualar a zero!!

E aí? Bora lá aplicar?? 😉

Passo 2

No enunciado é citado o volume máximo, então a fórmula a ser maximizada é:

V = π r 2 h 3

Também vemos no enunciado que as variáveis do cone menor estão dependendo das do cone maior, então é assim que as isolaremos, e faremos isso utilizando a nossa querida semelhança de triângulos:

H R = H - h r ∴

h = H - H r R ∴

h = H R - H r R ∴

h = H R R - r

Substituindo h em V :

V = π r 2 h 3 ∴

V = π r 2 3 H R R - r ∴

V = π H 3 R R r 2 - r 3

Passo 3

Maximizando V , ou seja, derivando e igualando a zero;

V ' r = π H 3 R 2 R r - 3 r 2 = 0 ∴

V ' r = π H 3 R r 2 R - 3 r = 0

Como π H 3 R nesse caso é visto como uma constante, podemos dar aquela ignorada para achar r .

Então:

r 2 R - 3 r = 0 ∴

r = 0   ou 2 R = 3 r   → r = 2 R 3

Já que não faz sentido ter um raio valendo 0 , vamos substituir o segundo r encontrado na fórmula da altura para mostrar o que o enunciado nos pede:

h = H R R - r ∴

h = H R R - 2 R 3 ∴

h = H R R 3 ∴

h = 1 3 H

Então a proposição é verdade, o volume do cone realmente é máximo quando h = 1 3 H .

Resposta

Demonstração

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