Enunciado

Demonstre a identidade:

(1 + tgh x)/(1 - tgh x) = e^(2 x)

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema temos que mostrar que

(1 + tgh x)/(1 - tgh x) = e^(2 x)

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Se tgh x (tangente hiperbólica de x ) é dada por:

tgh x = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

Podemos começar a partir daí! 👀

Passo 2

Então se usarmos a informação do passo anterior, vamos cair em

(1 + tgh x)/(1 - tgh x) = (1 + (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x)))/(1 - (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x)))

Simplificando...

(1 + tgh x)/(1 - tgh x) = (((e^x + e^(- x)) + (e^x - e^(- x)))/((e^x + e^(- x))))/(((e^x + e^(- x)) - (e^x - e^(- x)))/((e^x + e^(- x))))

(1 + tgh x)/(1 - tgh x) = ((e^x + e^(- x)) + (e^x - e^(- x)))/((e^x + e^(- x)) - (e^x - e^(- x)))

(1 + tgh x)/(1 - tgh x) = (e^x + e^(- x) + e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x) - e^x + e^(- x))

Juntando os termos em comum

(1 + tgh x)/(1 - tgh x) = (2 e^x)/(2 e^(- x))

(1 + tgh x)/(1 - tgh x) = e^(x - (- x))

(1 + tgh x)/(1 - tgh x) = e^(2 x)

E aí! legal, né? Responde Aí! 😁

Resposta

Portanto, demonstramos que:

(1 + tgh x)/(1 - tgh x) = e^(2 x)

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