Enunciado

Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções nos Exercícios 41-48 não têm limite quando x ,   y → 0 ,   0 .

f x ,   y = x 2 y x 4 + y 2

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo! Primeiramente vamos relembrar a definição para o teste dos dois caminhos para não existência de um limite:

Se f x ,   y → L 1 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 1 e f x ,   y → L 2 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 2 , com L 1 ≠ L 2 , então lim x ,  y → a ,  b ⁡ f x ,   y não existe.

Antes de fazermos nosso exercício, vou mostrar um exemplo de um limite que não existe:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2

Primeiro vamos aproximar de 0 ,   0 ao longo do eixo x , tomando y = 0 :

f x ,   0 = x 2 x 2 = 1

Então f x ,   y → 1 quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo do eixo x . Agora vamos aproximar ao longo do eixo y , colocando x = 0 , assim:

f 0 ,   y = - y 2 y 2 = - 1

Então f x ,   y → - 1 quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo do eixo y . Como tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Então, vamos para o nosso exercício, temos a seguinte função:

f x ,   y = x 2 y x 4 + y 2

O limite não pode ser encontrado por meio de substituição direta, o que nos dá a forma indeterminada 0 / 0 . Ao longo da curva y = k x 2 , temos:

f x ,   k x 2 = x 2 ( k x 2 ) x 4 + k x 2 2 = k x 4 x 4 + k 2 x 4 = k k 2 + 1

Portanto:

lim x ,  y → 0 ,   0 ao longo de  ⁡ y =  k x 2 ⁡ f x ,   y = k k 2 + 1

Esse limite varia com o caminho de aproximação. Se x , y se aproxima de 0 , 0 , ao longo da parábola y = k x 2 , então k = 1 e o limite é 1 / 2 . Se x , y se aproxima de 0,0 , ao longo do eixo x , k = 0 e o limite é 0 . Pelo teste dos dois caminhos f não tem limite quando x , y se aproxima de 0 , 0 .

Resposta

Considerar os caminhos y = k x 2 , k uma constante, k ≠ 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

5-22. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.7. lim x , y → π , π 2 ⁡ y . s e n( x - y )
5-22. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.8. lim x , y → ( 3 ,2 ) ⁡ e 2 x - y
Mostrar que os limites não existem:c) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x - y)/(2 x + y)
Verificar se os seguintes limites existem:a) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (2 y)/(x + y)