Verificar se os seguintes limites existem:

a) lim x → 0 y → 0 ⁡ 2 y x + y

Passo 1

Vamos supor que o limite não existe, assim para provar isso, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

lim x → 0 y = 0 ⁡ 2 y x + y = lim x → 0 y = 0 ⁡ 2 0 x + 0 = lim x → 0 ⁡ 0 x = lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos y , temos que x = 0 . Logo:

lim x = 0 y → 0 ⁡ 2 y x + y = lim x = 0 y → 0 ⁡ 2 y 0 + y = lim y → 0 ⁡ 2 y y = lim y → 0 ⁡ 2 = 2

Como os resultados são diferentes, temos que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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