Enunciado

Considere a curva definida por σ t = 1 + 2 ln ⁡ 1 + t , 1 + 1 + t 2 ,       t > - 1

  1. Determine uma equação da reta tangente à curva no ponto 1,2

Passo 1

Pra pegar a equação tangente, precisamos de informação sobre o valor do parâmetro t no ponto de tangência primeiro. Pra isso, igualamos:

σ t = 1 + 2 ln ⁡ 1 + t , 1 + 1 + t 2 = 1,2

1 + 2 ln ⁡ 1 + t = 1 1 + 1 + t 2 = 2

Qualquer uma das duas equações nos dão o mesmo valor de t já que 1,2 é um ponto da curva, belê? Poupando tempo, vamos usar só a primeira equação:

1 + 2 ln ⁡ 1 + t = 1

2 ln ⁡ 1 + t = 0

ln ⁡ 1 + t = 0

1 + t = e 0

1 + t = 1

t o = 0

Show de bolinhas! E é com esse valor que achamos a inclinação da reta tangente no ponto de tangência, que é dada por σ ' t o . Vamos ter:

σ t = 1 + 2 ln ⁡ 1 + t , 1 + 1 + t 2

σ ' t = 2 1 + t , 2 + 2 t

σ ' t o = σ ' 0 = 2,2

A equação da reta tangente é então dada por:

r t = σ ' t o t + σ t o

r t = 2,2 t + 1,2

r t = 2 t + 1,2 t + 2

Resposta

r t = 2 t + 1,2 t + 2

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