Enunciado

Considere a equação

t + ∫ 0 t k t - ξ ξ d ξ = f ( t )

Em que f e k são funções conhecidas e deve ser determinada. Como a função desconhecida aparece debaixo do sinal da integral, a equação dada é dita uma equação integral; em particular, ela pertence à classe de equações integrais conhecidas como equações integrais de Volterra. Calcule a transformada de Laplace da equação integral dada e obtenha uma expressão para L ( t ) em função das transformadas L f ( t ) e L k ( t ) das funções dadas f e k . A transformada inversa de L ( t ) é a solução da equação original.

Passo 1

Vamos começar relembrando o teorema sobre a convolução. Ele diz que: se L k ( t ) e L ( t ) existem e

L y ( t ) = L k ( t ) x L ( t )

Então:

y t = ∫ 0 t k t - ξ ξ d ξ

Tudo bem???

Passo 2

Então, nossa equação se reduz à:

t + y t = f ( t )

y t = f t - t

Se aplicarmos a transformada de Laplace ficamos com:

L y ( t ) = L f t - t

L y ( t ) = L f t - L t

Passo 3

Como já vimos pelo teorema sobre a convolução:

L y ( t ) = L k ( t ) x L ( t )

Igualando as duas equações:

L k ( t ) x L ( t ) = L f t - L t

L t x L k t + 1 = L f t

L t = L f t L k t + 1

Se aplicarmos a transformada inversa:

L - 1 L t = L - 1 L f t L k t + 1

t = L - 1 L f t L k t + 1

Resposta

Para duas funções conhecidas f ( t ) e k ( t ) , a solução para a equação de Volterra é:

t = L - 1 L f t L k t + 1

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